Фильтрация фантомных решений

[TR63]

Батороев в сообщении #698033 писал(а):

Вроде бы дал "полный ключ" к расшифровке свего предыдущего шифрованного сообщения.

ishhan в сообщении #698050 писал(а):

Эти уравнения эквивалентны, так как "природа" об этом позаботилась.

"Природа", конечно, позаботилась, но нам это надо доказать. (Если не ошибаюсь, то Батороев предлагает вернуться к вопросу об эквивалентности; к тому же Ontt так и не ответил (не нашла) на мой вопрос по этому поводу обоснованно).
Повторяю своё мнение:
1). При $p=2$ уравнения эквивалентны (доказано).
2). При произвольных $p$ не доказано.
3). Для конкретных, например, $p=3$ не ясно. (ishhan, предлагает проверить некоторое свойство; считаю, что проверка в его исполнении будет выглядеть надёжнее.)
(Возможно, для ($p=3$) что-то получится).

[ishhan]

Euler proved the general case of the theorem for n=3, Fermat n=4, Dirichlet and Lagrange n=5. In 1832, Dirichlet established the case n=14. The n=7 case was proved by Lamé (1839; Wells 1986, p. 70), using the identity
$(X+Y+Z)^7-(X^7+Y^7+Z^7)=7(X+Y)(X+Z)(Y+Z) [(X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ)^2+XYZ(X+Y+Z)] $
(15)

Это кусочек текста из http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html.
Из которого следует, что разложение тринома на множители применялось для доказательства ВТФ уже в 1832 году, до падения крепостного права в России.

TR63 в сообщении #698070 писал(а):

2). При произвольных $p$ не доказано.

Доказано для простых показателей $p$ самой природой, то есть фактом существования разложения на множители формы:

$$(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p=pW^3(x,y,z)W^{p-3}(x,y,z)$$

так для $p=7$ имеем известное ещё в древние времена:
$W^{p-3}(x,y,z)=[(X^2+Y^2+Z^2+XY+XZ+YZ)^2+XYZ(X+Y+Z)]$
и соответственно $W^3(x,y,z)=(X+Y)(X+Z)(Y+Z) $
ТР63! сомнения по поводу эквивалентности уравнений для простых $p$ можно смело отбросить.

[Ontt]

Чтобы не возникало путаницы, предлагаю тождественность обозначать соответствующим знаком $\equiv$.

TR63 в сообщении #698070 писал(а):

к тому же Ontt так и не ответил

Если Вас не затруднит, напишите еще раз вопрос, пожалуйста, явно и однозначно обозначая в нем все составляющие (например, говоря о неком уравнении, просьба писать не "уравнение", "это уравнение", "то самое уравнение", а просто привести его математическую запись).

[Батороев]

ishhan в сообщении #698050 писал(а):

Соответственно "природе" и здравому смыслу, уравнениями будем называть: $x^3+y^3+z^3=0$ и $(x+y+z)^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ и никогда в дальнейшем не будем называть эти уравнения тождествами:)

Поток сознания - это хорошо, но вы все же по существу ответьте: можно ли в этих уравнениях (пусть будет по-вашему) произвести замену одного из чисел без замены других?

[Ontt]

TR63, есть замечательный сайт http://www.wolframalpha.com. Можно попросить его разложить на множители, например, многочлен $(x+y+z)^{37}-x^{37}-y^{37}-z^{37}$, вписав в строке запроса:

factor ((x+y+z)^37-x^37-y^37-z^37)

Результат достаточно показательный.

[TR63]

Ontt, ishhan,
конечно, то, что вы предлагаете мне проверить,-это уровень пятого класса. Мой вопрос не об этом (уже не знаю, как объяснить; мои сомнения изложены в, так называемом, круге первом; если непонятно изложено, можно пока не обращать внимания, может в ходе дальнейшего обсуждения сомнение исчезнет).

[ishhan]

Батороев в сообщении #698079 писал(а):

ishhan в сообщении #698050 писал(а):
Соответственно "природе" и здравому смыслу, уравнениями будем называть: $x^3+y^3+z^3=0$ и $(x+y+z)^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$ и никогда в дальнейшем не будем называть эти уравнения тождествами:)

Поток сознания - это хорошо, но вы все же по существу ответьте: можно ли в этих уравнениях (пусть будет по-вашему) произвести замену одного из чисел без замены других?

Встречный вопрос: поток сознания в дифференциальном виде это дивергенция или ротор?
Теперь по существу.
В уравнениях можно производить замену переменных.
Не буду напоминать вам о якобиане и коэффициентах Ламе, а скажу только пару слов о линейной линейной замене в ВТФ.
Конечно старые и новые переменные нужно обозначать разными "букафками" (тут я, как и вы, забыл про шифры)
Можно сделать замену$ x+y=u$,$ x+z=v$ $y+z=t$.
После такой замены ВТФ запишется как:

$$(u+v+t)^3=24uvt$$

Теперь пойдём дальше и ответим можно ли делать такую замену:$-x-y-z=u_1$, $y=v_1$, $z=t_1$
К "букафкам" добавим индексы, что бы не запутаться.
Замена теперь другая, меняется только одно переменное (число)$ u=-x-y-z$, а два других(числа) переменных мы оставили без изменения, но это несущественно.
Уравнение ферма ВТФ3 теперь выглядит как:

$$-u_1^3=3(u_1+t_1)(u_1+v_1)(t_1+v_1)$$

Пора уже рассматривать уравнение Ферма с учётом разложимости триномиального тождества и для любых линейных замен переменных.
Главное, что бы любое рассмотрение соответствовало словесной формуле уравнения Ферма.

[Батороев]

ishhan в сообщении #698117 писал(а):

Главное, что бы любое рассмотрение соответствовало словесной формуле уравнения Ферма.

Слово "словесной" можно было бы и упустить. Ну да ладно, и так пойдет.

А теперь сравните с тем, что вы предлагали:

ishhan в сообщении #697897 писал(а):

То есть уравнение $(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$ не имеет решения.
Как опираясь на этот факт доказать, то что $(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ так же не имеет решения пока не ясно.

Такое "рассмотрение не соответствует словесной формуле уравнения Ферма".

[Belfegor]

Ontt в сообщении #697988 писал(а):

Нет, не следует. Простой пример: $4=2 \cdot 2= (-2) \cdot (-2)$.

Уважаемый Ontt! Огромное спасибо! Всё понял Это всё минусы
$(-6+2)(-6+3)=(1+2)(1+3)$

$(-4)(-3)=(3)(4)$

$(12)=(12)$

-- Вт мар 19, 2013 20:32:46 --

ishhan в сообщении #698050 писал(а):

На всякий случай давайте договоримся считать тождеством выражение:

$$(x+y+z)^3= x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$$

Уважаемый ishhan! Наконец-то до меня дошло, но вы тоже ещё тот "жук"! Заморочили головушку своими словесными вкусностями!
1. Итак

ishhan в сообщении #698013 писал(а):

Тождество это равенство которое выполняется для всех возможных значений переменных.

Рассмотрим "многострадальное" тождество:
$(x+y+z)^3= x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$
Сделаем одинаковые преобразования в левой и правой части, что бы тождество сохранилось:

$(x+y+z)^3+x^3+y^3+z^3 = x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)+x^3+y^3+z^3$

$(x+y+z)^3+(x^3+y^3+z^3) = 2(x^3+y^3+z^3)+3(x+y)(y+z)(z+x)$

Пусть $(x^3+y^3+z^3)=0$, подставим в обе части:

$(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$
У нас по - прежнему тождество -равенство которое выполняется для всех возможных значений переменных.
При подстановке $s=-x-y-z$
Равенство нарушается:
$(-x)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$
ТО есть получается, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество и значит $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно? Остаётся показать, что это справедливо для целых чисел?

[Belfegor]

Belfegor в сообщении #698369 писал(а):

$(x+y+z)^3+(x^3+y^3+z^3) = 2(x^3+y^3+z^3)+3(x+y)(y+z)(z+x)$

Пусть $(x^3+y^3+z^3)=0$, подставим в обе части:

$(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$

Нет, тождество нарушается и-за неравноценного обнуления $(x^3+y^3+z^3)$ и $2(x^3+y^3+z^3)$

[Ontt]

Belfegor в сообщении #698369 писал(а):

ТО есть получается, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество и значит $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно?

Вы верно заметили, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество. Но это не значит, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно. Это значит только то, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не может быть верным для всех чисел. Оно верно только для некоторых чисел.

[TR63]

Ontt,
теперь Ваша позиция мне стала более понятна (спасибо (не смотря на то, что разъяснение адресованно не мне)).
Вот, это:

Ontt в сообщении #698492 писал(а):

Belfegor в сообщении #698369 писал(а):

ТО есть получается, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество и значит $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно?

Вы верно заметили, что $(x+y+z)^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x)$ не тождество. Но это не значит, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не верно. Это значит только то, что $(x^3+y^3+z^3)=0$ не может быть верным для всех чисел. Оно верно только для некоторых чисел.

[ishhan]

Батороев в сообщении #698350 писал(а):

А теперь сравните с тем, что вы предлагали:
ishhan в сообщении #697897 писал(а):
То есть уравнение $(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$ не имеет решения.
Как опираясь на этот факт доказать, то что $(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ так же не имеет решения пока не ясно.

Такое "рассмотрение не соответствует словесной формуле уравнения Ферма".

На самом деле уравнение

$$(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$$

является как бы тестовым.
Я его предложил для проверки гипотезы и не более того.
Так, в нём нет никаких численных множителей или скаляров, алгебраические множители в количестве трёх штук линейные $(x+y)(x+z)(y+z)$
Оно не имеет решений, так как условия целостности сводятся к уравнению не имеющему решения в действительных числах (если я ничего не напутал с применением неравенства Коши для решения уравнения $a^3+b^3+c^3=2abc$)

[ishhan]

Вношу поправку.
Уравнение $(x+y+z)^3=(x+y)(x+z)(y+z)$ не имеет решения в натуральных числах.
Доказать неразрешимость этого уравнения в целых числах традиционными методами пока не получается.
Это уравнение сложнее мнимого уравнения Ферма: $(x+y+z)^3=3(x+y)(x+z)(y+z)$ и в более общем виде его можно записать как:

$$(x+y+z)^3=3^m(x+y)(x+z)(y+z)$$

При $m=1$ оно сводится к уравнению Ферма.
При $ m=2$ решения есть.
Но, есть ли закономерность существования решений зависящая от значения показателя $m$?

[TR63]

ishhan,
если Вы, рассматриваете переменную m в области натуральных чисел и предполагаете экстраполировать некоторое качество по этой переменной, то переменные x,y,z необходимо рассматривать тоже в области натуральных чисел. Интересно, тогда при $m=2$ есть решения?