Пересечение гиперплоскостей

[serval]

Пусть имеются две гиперплоскости с векторами нормалей $\vec n_1=(1,2,3,4,5)$ и $\vec n_2=(0,0,0,0,-1)$ соответственно.
Как найти их пересечение?

[gris]

Написать решение системы двух уравнений. В принципе, она и будет одной из форм задания пересечения.
А разве гиперплоскость только нормалью задаётся? Надо хотя бы одну точку указать .

[ИСН]

Их пересечение проще всего задаётся именно так (как их пересечение). А Вы как хотели?

[serval]

gris в сообщении #701103 писал(а):

Надо хотя бы одну точку указать

Извиняюсь. Для первой гиперплоскости такой точкой будет начало координат $O(0,0,0,0,0)$, а для второй точка $A(0,0,0,0,-1)$

ИСН в сообщении #701104 писал(а):

А Вы как хотели?

Вообще, я хотел как множество целых точек принадлежащих пересечению (с точностью до коэффициента).
Пересечением плоскостей является прямая, которую можно задать направляющим вектором. Есть ли аналог такого вектора в данном случае?

[ИСН]

Э... Но Вы же понимаете, что здесь пересечение - не совсем прямая?

[serval]

В том и дело
Я пытаюсь сообразить, если я поверну (или отражу) первую гиперплоскость, тогда во что отобразиться исходное пересечение?
Мне нужен инструмент позволяющий это вычислить.

[ИСН]

Ну, оно отобразится в какое-то тоже пересечение. Такое же, но другое.
Смотрите, в Вашем случае пересечение - это что? Что за объект, какой природы?

[mihailm]

serval в сообщении #701099 писал(а):

Пусть имеются две гиперплоскости с векторами нормалей $\vec n_1=(1,2,3,4,5)$ и $\vec n_2=(0,0,0,0,-1)$ соответственно.
Как найти их пересечение?

Есть два довольно стандартных способа задания таких линейных подпространств - с помощью базиса (или базы, это аналог направляющего(их) вектора(ов) прямой и плоскости) или с помощью системы линейных уравнений (уравнение плоскости или общее уравнение прямой в пр-ве)
Вам как?

[gris]

Пересечение на плоскости двух прямых с неколлинеарными векторами нормалей - точка.
Пересечение в трёхмерном пространстве двух плоскостей с неколлинеарными векторами нормалей - прямая.
Пересечение в четырёхмерном пространстве двух трёхмерных гиперплоскостей с неколлинеарными векторами нормалей - плоскость.

Пересечение в пятимерном пространстве двух четырёхмерных...

Если медленно поворачивать одну из пересекающяхся прямых, то точка пересечения будет скользить по второй. Ну как и по первой.

Если медленно поворачивать одну из пересекающяхся гиперплоскостей, то...

[serval]

ИСН в сообщении #701149 писал(а):

Такое же, но другое.

До этого я додумался А как его вычислить?

mihailm в сообщении #701150 писал(а):

Вам как?

Мне первый, если можно

gris в сообщении #701153 писал(а):

Если медленно поворачивать одну из пересекающяхся гиперплоскостей, то...

А если, к примеру, отразить первый вектор нормали относительно какой-либо (гипер)плоскости проходящей через начало координат и содержащей второй вектор нормали, то во что отобразится исходное пересечение? Как вычислить?

[mihailm]

serval в сообщении #701167 писал(а):

...

mihailm в сообщении #701150 писал(а):

Вам как?

Мне первый, если можно
...

Уравнение гиперплоскостей запишите

[arseniiv]

serval в сообщении #701167 писал(а):

А если, к примеру, отразить первый вектор нормали относительно какой-либо (гипер)плоскости проходящей через начало координат и содержащей второй вектор нормали, то во что отобразится исходное пересечение? Как вычислить?

Ну запишите оператор отражения, что ли. Его матрицу в вашем базисе. Нет, координат не надо. (Ну и там поколдуйте немного ещё.)

Если не получится записать оператор отражения сразу, то сначала посмотрите, что делает с вектором его скалярное умножение на чью-нибудь нормализованную нормаль.

[serval]

Извините, был вынужден отвлечься.

mihailm в сообщении #701170 писал(а):

Уравнение гиперплоскостей запишите

$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=0$
$-x_5+1=0$

Пожалуйста, проверьте. Первая гиперплоскость должна проходить через начало координат, а вторая иметь нормалью орт $-\vec e_5$ и отстоять от начала координат на $-1$.

[Shtorm]

serval в сообщении #701126 писал(а):

gris в сообщении #701103 писал(а):

Надо хотя бы одну точку указать

Извиняюсь. Для первой гиперплоскости такой точкой будет начало координат $O(0,0,0,0,0)$, а для второй точка $A(0,0,0,0,-1)$

Если это так по условию, то берём Ваше уравнение $-x_5+1=0$ и тождество-то не получается, если точку подставить.

[serval]

Shtorm в сообщении #701565 писал(а):

тождество-то не получается

Спасибо. Наверное, правильно будет так: $-x_5-1=0$ .