Цифры в вершинах куба

[Clayton]

Цифры от 1 до 8 записаны в вершинах куба. На каждом ребре записан модуль разности цифр стоящих на концах ребра. Может ли сумма всех этих модулей равняться 50?

Вроде задачка легкая, но я чего-то не соображу Сначала думал оценкой: 7 может встретиться только 1 раз, 6-два раза и тд. Но там получается больше 50. Потом думал про остатки по модулю 3,но опять там непонятки получаются. Подкиньте,пожалуйста,идею.

[gris]

Как получилось больше 50?

[Clayton]

Ну это:7+6+6+5+5+5+4+4+4+4+3>50

[gris]

Но это оценка сверху. Вы получили, что сумма чисел не может превышать 53.
А разве 1 и 2 не обязаны встретиться на рёбрах?

[Clayton]

gris в сообщении #699506 писал(а):

Но это оценка сверху. Вы получили, что сумма чисел не может превышать 53.

Точнее 56: 7+6+6+5+5+5+4+4+4+4+3+3=56, забыл еще одну тройку.

gris в сообщении #699506 писал(а):

А разве 1 и 2 не обязаны встретиться на рёбрах?

Ну наверное обязаны, только это как-то не очевидно.

[gris]

Ну да, рёбер двенадцать. Но может встретиться, совсем не означает, что встретится обязательно. Вы доказали, что больше 56 получиться не может. Но это бесполезно. Ведь 50 меньше, чем 56. Например, расставив 1234 по порядку снизу, а 5678 сверху, мы получим 28 на рёбрах.

[Clayton]

gris в сообщении #699524 писал(а):

Ну да, рёбер двенадцать. Но может встретиться, совсем не означает, что встретится обязательно. Вы доказали, что больше 56 получиться не может. Но это бесполезно. Ведь 50 меньше, чем 56. Например, расставив 1234 по порядку снизу, а 5678 сверху, мы получим 28 на рёбрах.

Ну это понятно Так как тогда оценивать,я что-то не очень понял.

[gris]

Ну если доказать, что не может быть больше 48, то 50 никак не сможем получить.
Кстати, 1 тоже не обязана встречаться.

[Clayton]

gris в сообщении #699532 писал(а):

Ну если доказать, что не может быть больше 48, то 50 никак не сможем получить.

Ну блин,это понятно. Даже пример нашел для 48(внизу 8172, вверху 3645). Как провести оценку? Вот у нас есть одна семерка,две шестерки и три пятерки - это 100% можно сделать. А вот почему у нас на ребрах должна быть единица или двойка-это непонятно.

[lek]

Можно получить 48 (без 5-ки), а затем переставить пару цифр (1 и 3, например) и будет 50.

[Clayton]

lek в сообщении #699544 писал(а):

Можно получить 48 (без 5-ки), а затем переставить пару цифр (1 и 3, например) и будет 50.

Так все же цифры 1-8 по одному разу записаны.

[lek]

А... без девятки. Тогда этот вариант не проходит.

[gris]

Можно. Но как тогда четвёрки получать?
$7=8-1;\ 6=8-2;\6=7-1;\5=6-1;\5=8-3;\ 6=7-2;$
Вот у нас $1$ и $8$ полностью обложены, у $7$ и $2$ по одному свободному соседу, у $6$ и $3$ по два.
Надо на шести рёбрах получить $16$. Как?

[Clayton]

gris в сообщении #699572 писал(а):

Можно. Но как тогда четвёрки получать?
$7=8-1;\ 6=8-2;\6=7-1;\5=6-1;\5=8-3;\ 6=7-2;$
Вот у нас $1$ и $8$ полностью обложены, у $7$ и $2$ по одному свободному соседу, у $6$ и $3$ по два.
Надо на шести рёбрах получить $16$. Как?

Ну никак. Но мог же быть и другой расклад Я вместо оценки просто брал как бы худший случай. Как оценить по другому-я пока не знаю.

[gris]

Ладно, намекну потолще.
Оценивать можно не всю сумму, а по частям. Например, если человек за день проходит не больше 16 км, то за три дня он пройдёт не более 48 км.
Если кубик аккуратно положить на стол, то сумма на четырёх вертикальных рёбрах не может превышать что?