Функан. Доказать, что множество является компактным.

[Mesaki]

Являетя ли компактным в $C[0;1]$ множество: $K=\lbrace x(k) | x(0)=x(1);|x'(t)|\leqslant1\rbrace$ ?

Мне известно, что К-компактное множество, если оно:
1) ограничено
2) равностепенно непрерывное семейство функций.

Начнем со 2-ого. Я подумал, раз функция дифференцируема, то она непрерывная, но является ли это равностепенной непрерывностью?

Дальше я думал, раз она непрерывна и $x(0)=x(1)$, то она должна быть ограничена, но вдруг $x(0)=x(1)=+\infty $, тогда же она не ограничена.

Помогите разобраться...

[mihailm]

Mesaki в сообщении #694163 писал(а):

...
Начнем со 2-ого. Я подумал, раз функция дифференцируема, то она непрерывная, но является ли это равностепенной непрерывностью?
...

Начните с определений всех понятий которые тут встречаются

[Mesaki]

Цитата:

Начните с определений всех понятий которые тут встречаются

Так как функция дифференцируема, то она непрерывна.

Непрерывность: $ f $ непрерывна в точке $x_0 \in K $, если $\forall \varepsilon >0 \exists \delta : \forall x \in K, |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon $

Равностепенная непрерывность: $ f $ равн. непрерывна в $ K $, если $\forall \varepsilon >0 \exists \delta : \forall x,y \in K, \rho (x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))< \varepsilon $

Я понял, почему на этом форуме почти не овтечают (как мне показалось), потому что тут задалбываешься все в техе оформлять.

[ewert]

Mesaki в сообщении #694256 писал(а):

Равностепенная непрерывность: $ f $ равн. непрерывна в $ K $, если $\forall \varepsilon >0 \exists \delta : \forall x,y \in K, \rho (x,y) < \delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))< \varepsilon $

Это непрерывность и впрямь "равн.", но не "степенная", а немножко иначе. А что такое именно равностепенная непрерывность?...

[Oleg Zubelevich]

Mesaki в сообщении #694163 писал(а):

не известно, что К-компактное множество, если оно:
1) ограничено
2) равностепенно непрерывное семейство функций.

неверно

[ewert]

(Оффтоп)

Mesaki в сообщении #694256 писал(а):

почему на этом форуме почти не овтечают (как мне показалось), потому что тут задалбываешься все в техе оформлять.

Тут вообще не овтечают. Правда, "задалбываешься" набрано грамотно.

Ну вот Вы же набрали -- значит, уже чему-то полезному научились. На всякий случай: пробелы в формулах игнорируются (полностью), их надо ставить принудительно: "\ " (бэкслэш-пробел) или, более мелкие, "\;" и "\,".

-- Пн мар 11, 2013 22:42:28 --

Oleg Zubelevich в сообщении #694260 писал(а):

Mesaki в сообщении #694163 писал(а):

не известно, что К-компактное множество, если оно:
1) ограничено
2) равностепенно непрерывное семейство функций.

неверно

Действительно неверно. Однако станет верным, если восстановить проглоченную начальную "М".

[g______d]

ewert в сообщении #694262 писал(а):

Действительно неверно. Однако станет верным, если восстановить проглоченную начальную "М".

И заменить "компактное" на "предкомпактное".

[ewert]

g______d в сообщении #694270 писал(а):

И заменить "компактное" на "предкомпактное".

Это вопрос выбора терминологии. Некоторые товарищи любят называть предкомпактные множества компактными, собственно же компактные -- компактными в себе.

Так что конкретно в том критерии (пред)компактности придраться решительно не к чему, разве что к некоторой стилистической небрежности в формулировке "равностепенно непрерывное семейство функций" (но и тут это ещё как посмотреть -- с чьей стороны тут небрежность). Поскольку решение задачки гораздо более грубо.

[Mesaki]

Цитата:

неверно

Верно. именно компактное Множество (не компакт!). Критерий Арцела.

-- 12.03.2013, 14:35 --

Цитата:

Это непрерывность и впрямь "равн.", но не "степенная", а немножко иначе. А что такое именно равностепенная непрерывность?...

Я, так понимаю, дал определение равномерной непрерывности? но в чем разница между ней и равностепенной непрерывностью? Мы при проверке каакого-то множества на то, является ли оно компактным, прям проверяли, что если существует такое дельта, то ок, условие равностепенной непрерывности выполняется. (проверяли прям как по определению я написал.)

В общем, я подумал, начать решение так: раз оно дифференцируемо, то имеет производную в каждой точке $ t \in [0;1] $, раз имеет производную, то непрерывно в этой точке. А так как она имеет производную во всех точка из указанного промежутка, то непрерывна в каждой точке, а следовательно равностепенна непрерывна.

[mihailm]

Гадать все-таки не стоит.
Определение равностепенной непрерывности для семейства функций, а равномерной непрерывности для одной функции, уточните.
И еще в вашем критерии Арцела первый пункт просто ограничено или еще есть что?

[Mesaki]

mihailm в сообщении #694547 писал(а):

И еще в вашем критерии Арцела первый пункт просто ограничено или еще есть что?

На лекции давали так: $K\inC[a;b]$-компактное множество $\Leftrightarrow$
1) K- ограничено: $\exists M>0:\forall x\in K |x(t)|\leqslant M$
2) К- равносетпенное непрерывное семейство функций.

mihailm в сообщении #694547 писал(а):

Гадать все-таки не стоит.
Определение равностепенной непрерывности для семейства функций, а равномерной непрерывности для одной функции, уточните.

Вот тут не понял, мне нужно уточнить это в критерии или для себя? На самом деле я не очень понимаю, что значит второй пункт, так как на семинарах мы походу доказывали равномерную непрерывность.
Так, или я все-таки понял? то есть доказывая равномерную сходимость дял множества функции- это и есть равностепенная? То есть то, что я писал постом выше правильно?

[mihailm]

Ну в вики посмотрите, (самое забавное что там во второй строке написано
не следует путать с "Равномерной непрерывностью"). А лучше в учебнике, какой там вам предлагают.
Первое условие на лекции давали то что надо (хотя я еще написал бы что для всех t).
Прочитайте вобщем определение и уже пора решать задачу

[Mesaki]

mihailm в сообщении #694564 писал(а):

пора решать задачу

Значит, начнем с равностепенной непрерывностью:
$ \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta (\varepsilon) \ \forall t_1,t_2: |t_1-t_2|<\delta \Rightarrow |x_n(t_1)-x_n(t_2)|<\varepsilon \ \forall n $
$ |x_n(t_1)-x_n(t_2)|=|x'_n(\psi)|\ |t_1-t_2|<1\delta<\varepsilon $. Тем самым мы доказали, что $ \forall \varepsilon >0 \ \exists \delta (\varepsilon)$.
Теперь бы с ограниченностью, раз равностепенна непрерывна и значения на концах отрезка равны, то ограничена, но вдруг $ x(0)=x(1)=\infty$ ?

[mihailm]

а $C[0,1]$ на всякий случай - это что?

[Mesaki]

mihailm в сообщении #694611 писал(а):

а $C[0,1]$ на всякий случай - это что?

Как я понимаю, это множество непрерывных функций $ x(t),t \in [0;1] $