соударение шаров

[Oleg Zubelevich]

Не удержался. Потому, что вот это вот: post692917.html#p692917 совершенное безобразие. И поскольку исходит оно вполне квалифицированного человека...

Идеальный удар двух шаров может рассматриваться в следующих постановках

1) шары гладкие, в момент удара проскальзывают
2) шары совершенно шершавые, в момент удара нет проскальзывания.

2) -- это задача не стандартная в смысле в учебниках ее скорее всего нет.

1) -- классика. Для ее решения используется

I) гипотеза о сохранении энергии до и после удара
II) закон сохранения импульса системы
III) прпоекция импульса каждого шара на их общую касательную плоскость в момент удара сохраняется это как раз следует из гипотезы о гладкости шаров, поскольку сила взаимодействия в между шарами в момент удара перпендикулярна этой плоскости.

[Munin]

Не спорю. И что?

[Oleg Zubelevich]

а вам как удалось обойтись без гипотезы о гладкости шаров?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #693933 писал(а):

а вам как удалось обойтись без гипотезы о гладкости шаров?

Она эквивалентна закону сохранения энергии и подразумевается.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #693951 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #693933 писал(а):

а вам как удалось обойтись без гипотезы о гладкости шаров?

Она эквивалентна закону сохранения энергии и подразумевается.

что значит эквивалентна? сформулируйте четко, какие наборы гипотез эквивалентны

[ewert]

Гладкость шаров эквивалентна ЗСЭ.

Речь шла об именно стандартной задаче; соответственно, и умолчания в ней стандартные. И совершенно ни к чему рассматривать всевозможные мыслимые её обобщения.

[Oleg Zubelevich]

ewert: Хорошо. У нас есть закон сохранения энергии (1 уравнение) и закон сохранения импульса всей системы (3 уравнения). Выведите отсюда гладкость шаров. Т.е. докажите, что проекция импульса каждого шара на их общую касательную плоскость в момент удара сохраняется.
(всего в задаче 6 неизвестных: по три компоненты скорости центра каждого шара после удара)

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #694017 писал(а):

докажите, что проекция импульса каждого шара на их общую касательную плоскость в момент удара сохраняется.

Из гладкости следует сохранение, ибо нет продольных сил. В условиях негладкости сохранение как минимум не во всех случаях будет. Это ровно и означает, что "закон" сохранения продольных составляющих импульсов равносилен гладкости.

Только я вообще-то ничего про импульсы не говорил -- только про энергии.

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #694060 писал(а):

и означает, что "закон" сохранения продольных составляющих импульсов равносилен гладкости.

вот именно.

так я и прошу Вас доказать, что

ewert в сообщении #693968 писал(а):

Гладкость шаров эквивалентна ЗСЭ.

выведите из закона сохранения энергии "закон сохранения продольных составляющих импульсов"

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #694087 писал(а):

выведите из закона сохранения энергии "закон сохранения продольных составляющих импульсов"

Из сохранения общего импульса и общей кин. энергии выводится существование такого направления.
Вот его и назовём "продольным"

-- Пн мар 11, 2013 16:31:57 --

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #693933 писал(а):

а вам как удалось обойтись без гипотезы о гладкости шаров?

Я её просто явно не оговаривал, но в учебных задачах, как вы и сказали, иного и не предполагается.

Стоит упомянуть, что без гладкости задача становится куда более сложной, но заваливать наивного ученика ненужными его подробностями - излишне.

ewert в сообщении #693968 писал(а):

Гладкость шаров эквивалентна ЗСЭ.

Неверно. Но это вам сейчас Oleg Zubelevich объяснит. Представьте себе столкновение зубчатых колёс - абсолютно шероховатых поверхностей.

[ewert]

Munin в сообщении #694103 писал(а):

Неверно.

Верно. Надо только правильно эти слова понимать. В задачке ведь интересуются лишь поступательным движением шаров.

[Oleg Zubelevich]

А теперь рассмотрим два во всех смыслах гладких камня которые сталкиваются в точке $O$ неподвижного пространства. Имеем

1) $\sum_{i=1}^2m_i\overline v^-_i=\sum_{i=1}^2m_i\overline v^+_i$

2) $m_i[\overline{OS_i},\overline v_i^-]+J_i\overline \omega_i^-= m_i[\overline{OS_i},\overline v_i^+]+J_i\overline \omega_i^+,\quad i=1,2$

3) $P(m_1\overline v^-_1)=P(m_1\overline v^+_1),$

4) $\sum_{i=1}^2\frac{1}{2}m_i|v_i^-|^2+\frac{1}{2}(\overline\omega_i^-,J_i\overline \omega_i^-)=\sum_{i=1}^2\frac{1}{2}m_i|v_i^+|^2+\frac{1}{2}(\overline\omega_i^+,J_i\overline \omega_i^+)$

где

"+" -- после удара "-" -- до удара

$P$ -- ортогональный проектор на общую касательную плоскость проведенную через точку $O$

$S_i$ -- центры масс камней
$J_i$ -- операторы инерции относительно центров масс,
$\overline v_i$ -- скорости центров масс
$\overline\omega_i$ -- угловые скорости камней
$m_i$ -- массы камней

12 уравнений -- 12 неизвестных: $\overline\omega^+_i,\overline v_i^+,\quad i=1,2$

[DimaM]

Oleg Zubelevich в сообщении #694141 писал(а):

12 уравнений -- 12 неизвестных: $\overline\omega^+_i,\overline v_i^+,\quad i=1,2$

Зачем делать просто, когда можно сложно? (с)

[Oleg Zubelevich]

DimaM в сообщении #694150 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #694141 писал(а):

12 уравнений -- 12 неизвестных: $\overline\omega^+_i,\overline v_i^+,\quad i=1,2$

Зачем делать просто, когда можно сложно? (с)

сделайте просто