Нормы линейного функционала и линейного оператора

[Aarnikotka]

Помогите, пожалуйста, дорешать две задачки по функану - сам смог дойти только до середины, двинуться дальше не получается.

1. Найти норму линейного функционала f:
$f : L_2[0,1] \to \mathbb R, f(x) = 2 \int_0^1 x(t^2) dt $
С помощью замены переменной $ t^2=\varphi $ получил оценку сверху для для $ |f(x)| \leqslant ||x||_L_2 \sqrt {\int_0^1 (1/ \varphi) d \varphi} $
Но $ 1/\varphi $ не интегрируема на отрезке [0, 1]. Какой можно сделать вывод из данного результата? Или нужно пытаться строить другую оценку?

2. Найти норму линейного оператора A:
$A : L_1[0,1] \to L_1[0,1], A(x)(t) = \int_0^1 e^{t-r} x(r) dr $
Получил оценку сверху $||Ax||_L_1 \leqslant (e-1) ||x||_L_1 $ и следовательно $||A|| \leqslant (e-1) $
Проблема в том, что не получается подобрать такое $ x_0(r) $, чтобы $||Ax_0|| = (e-1) $. Максимум, что смог подобрать для $ x_0(r) $ это $ x_0(r) = r e^{r} $. Мешается 1/2 Последовательности тоже не удалось подобрать.

Прошу помощи или подсказки для решения этих двух задач. Благодарю

[ewert]

Aarnikotka в сообщении #688782 писал(а):

Проблема в том, что не получается подобрать такое $ x_0(r) $, чтобы $||Ax_0|| = (e-1) $.

И не получится -- для любой конкретной функции неравенство строгое. Ищите последовательность функций, на которой отношение стремится к ожидаемой норме (снизу, естественно). Ясно, что эти функции должны иметь сужающиеся носители -- вот угадать бы ещё, к чему те носители должны стягиваться, а?...

В первой задачке -- примерно так же. Теорема Рисса носит исчерпывающий характер, т.е. даёт общий вид линейного ограниченного функционала в виде скалярного произведения на некий фиксированный хороший элемент. И раз уж Вы получили нечто вроде скалярного произведения, в котором второй сомножитель явно нехорош, то всё ясно и остаётся лишь это всё аккуратно оформить. Тоже через какие-нибудь последовательности "пробных" функций, разумеется.

[Aarnikotka]

В том то и дело, что подобрать не удается - 4-й день пошел уже Остальные 10 схожих задач решить удалось, эти две - никак. Поэтому и обратился за помощью...

[ewert]

Aarnikotka в сообщении #689071 писал(а):

В том то и дело, что подобрать не удается - 4-й день пошел уже

Ну это уж явный перебор. Один день мучений -- это ещё куда ни шло; но когда зашкаливает за три -- это уже нехорошо.

Во второй задачке рассмотрите предел отношения норм для последовательности функций, носители которых стягиваются к нулю (неважно каких; но если хочется конкретики -- то пусть хоть соотв. прямоугольных импульсов).

В первой -- изобретите что-нибудь аналогичное.

[Aarnikotka]

Решения найдены для обеих задач, если кому интересно, отвечайте на это сообщения - выложу.

[g______d]

В первой задаче функционал не определен на элементе $x(t)=\frac{1}{\sqrt t\ln|t|}$. Хотя это и не обязательно для решения.