Равенство алгебраических чисел

[aeg]

Здравствуйте. Я уверен что вопрос который пришел мне в голову не новый, однако ответ на него пока не нашел, хотя признаюсь не глубоко копал. Суть вопроса наверное очевидна из названия темы, но все же: верно ли что если выражения двух алгебраических чисел не приводятся друг к другу, то они определяют различные числа?

[arseniiv]

Что означает «выражения двух алгебраических чисел не приводятся друг к другу»?

[aeg]

Ну ведь имеется у нас набор эквивалентных преобразований, например внесение сомножителей под общий знак радикала, домножение на сопряженное, приведение подобных и так далее. Конечную цепочку таких преобразований, которая позволяет из одного выражения получить второе я назвал приведением.

[Mathusic]

(Оффтоп)

aeg в сообщении #681958 писал(а):

Суть вопроса наверное очевидна из названия темы

aeg в сообщении #681958 писал(а):

Равенство алгебраических чисел

Хм.

aeg в сообщении #681984 писал(а):

Конечную цепочку таких преобразований, которая позволяет из одного выражения получить второе я назвал приведением.

Тогда причем здесь алгебраичность чисел?

[venco]

Я думаю из какой-то из теорем Гёделя следует, что существуют два выражения, ни равность ни неравность которых доказать невозможно.
Более того - и равность, и неравность можно постулировать, и это ничему не будет противоречить.

[ИСН]

По-моему, это ерунда какая-то, извините.
Зато довольно много будет таких алгебраических чисел, у которых тупо нету ни одного выражения.

[arseniiv]

Раз алгебраических счётное число, существует биекция $\eta\colon\mathbb N \to \mathbb A$.

$\eta(1)$ — первое алгебраическое число, $\eta(2)$ — второе алгебраическое число, $\eta(3)$ — третье алгебраическое число, …, $\eta(1000000027)$ — миллиард двадцать седьмоее алгебраическое число… Каждому числу по представлению!

-- Вс фев 10, 2013 03:00:41 --

(Шутка.)

[Mathusic]

ИСН в сообщении #681991 писал(а):

Зато довольно много будет таких алгебраических чисел, у которых тупо нету ни одного выражения.

И при этом столько же, сколько тех, у которых есть эти самые выражения есть

[ИСН]

Да. Больше. Но при этом столько же.

[Mathusic]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #682013 писал(а):

Да. Больше.

ИСН в сообщении #681991 писал(а):

довольно много

OK.

[Xaositect]

venco в сообщении #681987 писал(а):

Я думаю из какой-то из теорем Гёделя следует, что существуют два выражения, ни равность ни неравность которых доказать невозможно.
Более того - и равность, и неравность можно постулировать, и это ничему не будет противоречить.

Теория первого порядка поля алгебраических чисел разрешима, теоремы Геделя для нее нет.

[aeg]

Xaositect в сообщении #682030 писал(а):

Теория первого порядка поля алгебраических чисел разрешима, теоремы Геделя для нее нет.

Верно ли я понимаю, что разрешимость этой теории позволяет утверждать лишь то, что для двух выражений алгебраических чисел в радикалах возможны лишь две ситуации - либо можно привести конечный набор эквивалентных преобразований одного выражения в другое, либо доказать что его не существует?

Если так, то, в самом деле, у нас есть критерий сравнения алгебраических чисел, заданных в виде выражений с радикалами. Но мне по прежнему не ясно, будет ли такой критерий согласовываться с критерием равенства их как действительных чисел. Именно этот вопрос меня интересует.

[Xaositect]

aeg в сообщении #681984 писал(а):

например внесение сомножителей под общий знак радикала, домножение на сопряженное, приведение подобных и так далее

Все зависит от того, что Вы понимаете под "и так далее". В частности, сомневаюсь, чтобы с помощью того, что Вы перечислили, можно было доказать

$${{\left(4\,\sqrt{3}\,\sqrt{7}+18\right)^{{{1}\over{3}}}}\over{2^{{{ 1}\over{3}}}\,3^{{{2}\over{3}}}}}-{{2^{{{1}\over{3}}}}\over{3^{{{1 }\over{3}}}\,\left(4\,\sqrt{3}\,\sqrt{7}+18\right)^{{{1}\over{3}}}}} = 1$$

-- Вс фев 10, 2013 08:52:52 --

aeg в сообщении #682032 писал(а):

Верно ли я понимаю, что разрешимость этой теории позволяет утверждать лишь то, что для двух выражений алгебраических чисел в радикалах возможны лишь две ситуации - либо можно привести конечный набор эквивалентных преобразований одного выражения в другое, либо доказать что его не существует?

Разрешимость означает, что либо можно доказать равенство, либо нельзя. Для доказательства могут использоваться не обязательно эквивалентные преобразования выражений. В частности, для равенства из моего предыдущего поста проще всего найти многочлен, корнем которого является выражение слева, доказать, что он имеет единственный корень и проверить что этот корень равен 1.

[aeg]

Xaositect в сообщении #682033 писал(а):

Разрешимость означает, что либо можно доказать равенство, либо нельзя

Возможна ли ситуация, когда равенство нельзя ни доказать, ни опровергнуть?

[Xaositect]

aeg в сообщении #682040 писал(а):

Возможна ли ситуация, когда равенство нельзя ни доказать, ни опровергнуть?

Нет. Следует из результатов Тарского о разрешимости.