Элементарное доказательство последней теоремы П. Ферма

[ABC123]

Тригонометрическое отображение действительных чисел.

Элементарное доказательство последней (великой) теоремы П. Ферма.

Случай n=3

Теорема. Если $a$, $b$, $c$ - положительные целые числа, то $a^n + b^n\not=c^n$ при $n>2$, где $n$ - целое положительное число.
Напишем

$$a^n + b^n = c^n,\eqno(1)$$

откуда

$$c=\sqrt[n]{a^n + b^n}.\eqno(1')$$

Смысл теоремы состоит в том, чтобы установить, при каких целочисленных значениях $n$ в выражении (1) совмещаются одновременно целые числа $a,\ b,\ c$.
Рассмотрим случай $n=3$

$$a^3 + b^3 = c^3,\eqno(2)$$

откуда

$$c=\sqrt[3]{a^3 + b^3}.\eqno(2')$$

Справедливы неравенства $c=\sqrt[3]{a^3 + b^3}< a+b, c=\sqrt[3]{a^3 + b^3}>a-b.$ Следовательно, $a,\ b, \ c$ выражают стороны треугольника (рис. 1-а).

Рис. 1. Числа $a$, $b$, $c$ как стороны треугольника.

В векторной форме (рис. 1-б)

$$\bar{c}=\bar{a}+\bar{b}.\eqno(3)$$

В дальнейшем вектор $\bar{a}$ считаем постоянным и $0<b \le a.$
По теореме косинусов

$$c=\sqrt{a^2 + b^2-2ab\cos\varphi},\eqno(4)$$

откуда с учетом (1')

$$\varphi=\arccos \frac{a^2 + b^2-\left(a^n + b^n\right)^{2/n}}{2ab},\eqno(5)$$

то есть $\varphi=\varphi \left(a, b, n\right).$
При $n=1,2$ угол $\varphi\quad не зависит от $a, \, b$:

$$\quad \varphi \left(1\right)=\pi, \qquad\varphi \left(2\right)=\pi/2.\eqno(5')$$

При $n=1$ равенство (1) имеет вид

$$a+b=c.$$

При $n=2$ в соответствии с теоремой Пифагора

$$a^2 + b^2=c^2.$$

В обоих случаях годограф вектора $\bar{c}$ совпадает с прямой вектора $\bar{b}$.
Если же $n\not=1;2$, то при постоянном $n$ он является криволинейным.
Остановимся на $\cos \varphi.$ Угол $\varphi$ будем толковать как центральный угол окружности радиуса $a$ (рис. 2). В равнобедренном треугольнике $OAB$ обозначим $OB=c, \, OA=AB=a$ (то есть $b=a$), $\alpha= \varphi /2.$ Введем число $m$ ($m=n$, когда $b=a$), в последующем реализуемое применительно к теореме косинусов.
На основании (1') $c=2^{1/m}a$. Отсюда

$$\sin\alpha=2^{1/m-1}.\eqno(6)$$

Рис.2 К выводу тригонометрических выражений

Также в выражении через $m$ могут быть получены остальные функции угла $\alpha$, который в радианах численно равен (если положить $a=1$) половине дуги окружности $O\breve{B}:$

$$\alpha=\frac{1}{2} O\breve{B}=F\breve{B}=\int_{0}^{x_{1B}} \sqrt{1+{\left(y'_{1x_1}\right)}^2} dx_1,$$

где $x_{1B}=\frac{c}{2}=2^{{1/m}-1}$, $\sqrt{1+{\left(y'_{1x_1}\right)}^2}=1/{\sqrt{1-x^2_1}}\quad$ (уравнение окружности ${x^2_1}+{y^2_1}=1^2$, производная ${y'_{1x_1}}=-x_1/{\sqrt{1-x^2_1}}$).
То есть

$$\alpha=\int_{0}^{2^{1/m-1}}dx_1/{\sqrt{1-x^2_1}}, \, \varphi=2 \alpha.$$

Угол $\alpha$ изменяется в пределах: $\pi/6<\alpha \leqslant \pi/2 $ $\quad\left(\pi/3<\varphi \leqslant \pi\right) \quad$ при $\infty >m \geqslant 1.$
Таким образом, установлено, что тригонометрические функции и их углы являются функциями одной переменной $m$, выражающей собой действительные числа.
Напишем

$$\cos \varphi=1-2\sin^2 \alpha=1-2^{2/m-1}, \eqno(7)$$

то есть $\varphi=\varphi(m).$
При $m=1;2$

$$ \varphi(1)=\pi, \, \varphi(2)=\pi/2, \eqno(7')$$

что повторяет случаи (5'), поэтому здесь справедливо $n=m=1;2$. В остальном (кроме $b=a$) $m\not=n$. Так, при $n=3$ и $b=0,75a$ $m=2,9393.$
При $m=\operatorname{const}$ годограф вектора $\bar{c}$ совпадает с прямой вектора $\bar{b}$.
На основании (4), (7) теорема косинусов выглядит

$$c=\sqrt {(a-b)^2+2^\frac {2}{m}a b}. \eqno(8)$$

Из (1') и (8) следует

$$c=(a^n+b^n)^\frac{1} {n}= \sqrt {(a-b)^2+2^\frac {2}{m}a b}. \eqno(9)$$

Число $c$ в (9) после извлечения квадратного корня является целым только при одновременном выполнении условий:

1. оба слагаемых подкоренного выражения должны быть целыми числами,
2. подкоренное выражение должно быть полным квадратом суммы.

Эти условия одновременно выполняются только при $n=m=1\text{; }2.$
В случае $n=m=1$

$$c=(a^1+b^1)^{1/1}=\sqrt{(a-b)^2+2^{2/1}ab}=a+b.$$

В случае $n=m=2$ выражение (9) справедливо при $a=v^2-u^2, \, b=2uv \, (c=v^2+u^2)$, где $u, v$ - целые положительные числа,

$$c=(a^2+b^2)^{1/2}=\sqrt{(a-b)^2+2^{2/2}ab}=\sqrt{a^2+b^2}=$$

$$=\sqrt{(v^2-u^2)^2+(2uv)^2}=v^2+u^2.$$

Если $m\not=1;2$ ($n\not=1;2$), то их одновременного выполнения не происходит.
При $n=\operatorname{const}$ в соответствии с $0<b \le a$ число $m$ изменяется в определенном интервале, одна из границ которого находится при условии $b=a$, то есть $m=n=3$.
Вторую границу находим, рассмотрев предел $\lim_{b\to 0} \cos \varphi, \, $ где на основании (5) при $n=3$

$$\cos \varphi = \frac {a^2+b^2-(a^3+b^3)^ \frac {2}{3}} {2ab}. \,$$

И числитель, и знаменатель при $b \rightarrow 0$ стремятся к нулю. Применение правила Лопиталя приводит к результату

$$\lim_{b\to 0} \cos \varphi = \lim_{b \to 0} \frac{b- (a^3+b^3)^{2/3-1} b^2 }{a}= 0,$$

то есть $\varphi \rightarrow \frac {\pi} {2}$. На основании (7') $m \rightarrow 2$.
Таким образом, число $m$ при $n=3$ изменяется в пределах $ 2<m \le 3$. Поэтому при целых значениях $a, \, b $ число $c$ целым быть не может.

[Belfegor]

ABC123 в сообщении #674220 писал(а):

Показано, что

$$c=(a^n+b^n)^{1/n}=\sqrt{(a-b)^2+2^{2/m}ab}. \eqno(2)$$

Уважаемый ABC123! А где показано?

[AKM]

ABC123 в сообщении #674220 писал(а):

Теорема. Если a, b, c - положительные целые числа, то $a^n + b^n \not= c^n$ при n>2, где n - целое положительное число.

Согласно правилу этого раздела, доказательство долхно быть явно ввыписано для третьей степени $n=3$. Общий случай будет рассматриваться после принятия данного частного случая.

ABC123 в сообщении #674220 писал(а):

Показано, что...

Кем показано, где показано?

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: (изложены выше).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»
Вернул. Оформлено вроде нормально.

[TR63]

ABC123, Вы в неявном виде используете мою гипотезу (её надо доказать; у Вас есть доказательство?)
Далее, имеются технические неточности (поправимые). Главная неточность: надо доказать с помощью двух операций, что

$91\neq(\sqrt{1+2^{\frac2 m}12})^3$.
А так, ничего. Нормально.

-- 03.02.2013, 15:41 --

(Детально выкладки не проверяла. В основном- идею.)

[AKM]

TR63,

пися пишучи "Вы ... используете мою гипотезу", было бы гораздо приличнее указать ссылку на эту гипотезу. Не вынуждать общественность гуглить "гипотеза TR63", или запускать поиск всех 130 форумных сообщений от автора TR63 и углубляться в их анализ (типа подходит-не_подходит под тему).

[TR63]

AKM,
прошу извинить меня за допущенное нарушение (не умею делать ссылки).
Данная гипотеза N1 находится в разделе Математика(общие вопросы), тема "Открытые проблемы форумчан".
(Смотреть надо уточнённый вариант. И то это лишь идея, набросок; без нюансов).
Меня заинтересовала идея ТС ( и выводы, которые могут (возможно) из неё последовать) для иллюстрации моей гипотезы.


updated:
Здесь или ниже... //AKM

[Sandor]

ABC123 в сообщении #674220 писал(а):

Рассуждения для чисел a и b аналогичны приведенным для числа c, что свидетельствует о несовместимости целых чисел a,b,c в (1) при целых n, кроме n=1;2. В этом состоит смысл теоремы Ферма.

Вы, собственно, доказали, что решения уравнения второго порядка, непригодны для исследования разрешимости уравнений высших порядков. Вопрос остаётся открытым при бесконечно многих других значениях неизвестных.

С уважением: Sándor

[ABC123]

Уважаемый Шандор!

Благодарю Вас за внимание, проявленное в отличие от многих "просмотрщиков". Одновременно должен сказать, что Вы не до конца осмыслили мою работу и с Вашим умозаключением я не согласен.
Поэтому коротко излагаю суть.
1. Все числа, связанные соотношением (1), независимо от порядка n, могут быть представлены как стороны треугольника. То есть для них справедлива теорема косинусов.
2. Все тригонометрические функции могут быть выражены через корень степени m из 2 (см. мою статью, находящуюся в "карантине", что надо было Вам сделать без напоминания). Этого нет в учебниках.
3. Таким образом, становится справедливым и понятным соотношение (2).
4. Число m так же, как и n, синхронно изменяется от 1 до бесконечности. Эти числа равны между собой только в случаях m=n=1 и m=n=2, не считая точки, в которой n и m одновременно стремятся к бесконечности (в случае равностороннего треугольника).
5. Остальное все подчиняется правилам извлечения квадратного корня, о чем сказано в статье, и не зависит ни от какого порядка.
Если не все понятно в сказанном, готов продолжить разговор (есть о чем).
С наилучшими пожеланиями.
Автор ABC123
9.02.13

[Toucan]

ABC123 в сообщении #681789 писал(а):

Уважаемый Шандор!

Замечание за искажение ника.

ABC123 в сообщении #681790 писал(а):

2. Все тригонометрические функции могут быть выражены через корень степени m из 2 (см. мою статью, находящуюся в "карантине", что надо было Вам сделать без напоминания).

Замечание за продолжение обсуждения темы, помещенной в Карантин.

[Алексей К.]

ABC123 в сообщении #681789 писал(а):

внимание, проявленное в отличие от многих "просмотрщиков".

Не стоит удивляться отсутствию внимания. "Статьёй" Вы называете некий безграмотный текст. Как обычно, автору всё понятно, и автор уверен, что всё понятно и остальным.

За это ---

ABC123 в сообщении #674220 писал(а):

Показано, что

Вас уже не раз попрекали. Ни ссылки нет, ни изложения того, "что показано". По сути, при том, что переменные $a,b,c,n$ уже объявлены, соотношение (2) можно рассматривать как уравнение, определяющее $m$. Показано что? Что решение непременно существует? Может $m$, при этом ещё и целое?

И Вы хотите, чтобы читатель за Вас угадывал-восстанавливал пропущенное? Не всякий готов этим заниматься, тем более, что от безграмотного текста обычно ничего полезного не ожидаешь.

Грамотный автор такого не напишет:

ABC123 в сообщении #674220 писал(а):

1. все члены подкоренного выражения должны быть целыми числами,

Может, "все члены" = "оба слагаемых"? Тогда зачем было заменять понятное "2" на никакое "все"?
Может, "все" --- это $(a-b)$, $ab$, $2/m$, $2^{2/m}$?
"Членом" (в математике) иногда называют слагаемое, реже --- сомножитель (?), но всегда так, что, например, "первый член" не вызывает непоняток.
Да кому нужны эти ребусы? Вряд ли человек, не умеющий изложить свои мысли, способен что-то дельное породить. Думаю, что причина невнимания именно в этом.

-- 09 фев 2013, 16:58:55 --

ABC123 в сообщении #681789 писал(а):

Одновременно должен сказать, что Вы не до конца осмыслили мою работу

Не удивительно. Попробуй тут "осмыслить"...

[AKM]

Toucan в сообщении #681812 писал(а):

Замечание за продолжение обсуждения темы, помещенной в Карантин.

Давненько мы Карантин не чистили...

[nnosipov]

Алексей К. в сообщении #681846 писал(а):

По сути, при том, что переменные $a,b,c,n$ уже объявлены, соотношение (2) можно рассматривать как уравнение, определяющее $m$.

Вот и я ровно так и подумал. Но, подозреваю, автор под знаком "$m$" мнит что-то своё. А что --- не говорит. Вот и гадай ...

[ABC123]

Уважаемые господа!

Своим обращением к Шандору (Sandor) я добился главного - внимания.
В отношении выводов о грамотности и неспособности породить "дельное" торопиться не следует (я и без того не сомневаюсь, что имею дело с грамотными специалистами).
Произошло следующее.
Первая редакция статьи была забракована и отправлена в карантин, главным образом, из-за неиспользования формата TEX, с которым я столкнулся впервые (консультация с опытным профессионалом результата не имела).
Считая (возможно, ошибочно), что первая редакция статьи, переведенная в карантин, будет принята во внимание в последующих отношениях, я отправил новый вариант статьи в сокращенном объеме, чем вызвал новые замечания и сообщение о направлении в карантин снова.
Когда я с учетом всех замечаний подготовил новую редакцию статьи и задал вопросы, как и куда (по какому адресу) ее направить, то появилось сообщение о том, что вторая редакция статьи (ранее забракованная) переведена из карантина в форум.
У меня возникает вопрос по существу: где содержатся (обозначены) четкие правила, которые я нарушил в отношениях с форумом? Может, они есть, тогда укажите, пожалуйста, как с ними познакомиться. Думаю, я не первый, кто попал в подобную несуразицу.
Вопросы.
1. Как мне следовало поступить в случившейся ситуации?
2. Как и куда можно отправить статью во вновь подготовленном виде?

С уважением.
Автор ABC123

9.02.13

-- 09.02.2013, 22:16 --

[AKM]

ABC123 в сообщении #681964 писал(а):

У меня возникает вопрос по существу: где содержатся (обозначены) четкие правила, которые я нарушил в отношениях с форумом? Может, они есть, тогда укажите, пожалуйста, как с ними познакомиться.

Последнее предложение этого сообщения содержало (и содержит по-прежнему) две ссылки. Вы их читали? Вы знаете, что такое "ссылка"? Вы умеете, пардон, "кликать ссылку"? Вы не увидели Правил форума?

Я задал этот вопрос не случайно. В одном из своих ответов об исправлении темы в Карантине Вы зачем-то указали свой пароль. Извините --- но это уж совсем дикость. Вы также не понимаете назначения ников/псевдонимов. Вас упрекнули за искажение оных, а Вы опять искажаете. Вы обращаетесь на форум как в редакцию какого-то журнала. Вы, похоже, чего-то сильно не понимаете в этих делах. Я, например, не смогу Вам ТАК МНОГО ВСЕГО объяснить. Я не хочу всю ночь писАть эту объяснялку...