Перемножение рациональных чисел

[ИСН]

Такой функции нет и не должно быть, ибо период степени числа не определяется периодом самого числа.

[Amigo]

Хорошо. А как доказать, что для дробей вида 0,(А1А2...Аn)-такой зависимости нет?

И второй вопрос не забудте прокомментировать.

[RIP]

Amigo
Рассмотрим несократимую дробь $\frac{m}{n}$, т.е. $m\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{N}$, $(m,n)=1$. Представим знаменатель в виде $n=2^\alpha5^\beta n_1$, где $\alpha\geqslant0$, $\beta\geqslant0$, $(n_1,10)=1$. Пусть $\tau$ --- наименьшее натуральное число такое, что $10^\tau\equiv1\pmod{n_1}$ (такое существует в силу того, что $(n_1,10)=1$; говорят, что $10$ принадлежит показателю $\tau$ по модулю $n_1$). Тогда длина периода числа $\frac mn$ в разложении в десятичную дробь будет равна этому $\tau$, а длина "предпериода" будет равна $\gamma=\max\{\alpha;\beta\}$, т.е. разложение будет иметь вид

$$\frac mn=a_0,a_1a_2\ldots a_\gamma(a_{\gamma+1}\ldots a_{\gamma+\tau}).$$

Замечание. Если отбросить условие $(m,n)=1$, то утверждение останется верным, т.е. дробь $m/n$ по-прежнему можно будет записать в таком виде, но при этом $\tau$ вовсе не обязано быть длиной минимального периода (но в любом случае будет делиться на неё; этот случай может иметь место, когда $(m,n_1)>1$), и длина предпериода может быть меньше $\gamma$ (этот случай возможен, лишь когда $(m,10)>1$).

Добавлено спустя 47 минут 55 секунд:

Посмотрим, например, что это даёт для степени рационального числа $\left(\frac mn\right)^k$. Без потери общности можно считать, что $\alpha=\beta=0$, т.е. $n=n_1$. Разложим $n$ в произведение простых сомножителей

$$n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_s^{\alpha_s},\ \alpha_j\geqslant1.$$

Представим $10^\tau-1$ в виде

$$10^\tau-1=p_1^{\beta_1}\ldots p_s^{\beta_s}A,\quad (A,n)=1.$$

Обозначим

$$N:=p_1^{\beta_1}\ldots p_s^{\beta_s}.$$

Вопрос о том, чему равен показатель $\tau_1$ числа $10$ по модулю $N_1=p_1^{\gamma_1}\ldots p_s^{\gamma_s}$, $\gamma_j\geqslant\alpha_j$, решается следующим образом.

$$\tau_1=\tau\cdot\frac{[N_1,N]}N,$$

где $[N,N_1]$ --- наим. общее кратное чисел $N$ и $N_1$.
Если теперь взять $N_1=n^k$, то при достаточно большом $k$ (а именно: если при всех $j$ будет выполняться $k\alpha_j\geqslant\beta_j$) длина периода дроби $\left(\frac mn\right)^k$ будет равна

$$\tau\cdot\frac{n^k}N.$$

В частности, если взять $n=10^\tau-1$, то длина периода числа $1/n$ будет равна $\tau$, а длина периода числа $1/n^2$ будет равна $\tau n=\tau(10^\tau-1)$.

P.S. Поэтому и не проглядывается период у дроби $4/49$: его длина равна $42$ (и дробь чисто периодическая, т.е. без предпериода).

Добавлено спустя 35 минут 56 секунд:

P.P.S. Опять же, отсюда легко получить способ извлечения корня.
Для простоты ограничусь случаем, когда $\frac mn\in(0;1)$ и

$$\left(\frac mn\right)^k=0,(b_1\ldots b_T)$$

(просто, чтобы писанины было поменьше.)
Тогда утверждается, что дробь $m/n$ можно записать в виде

$$\frac mn=0,(a_1\ldots a_T),$$

при этом $T$ не обязано быть минимальным периодом, но в любом случае оно делится на период дроби $m/n$. Поэтому достаточно посчитать лишь первые $T$ цифр числа $m/n$.