Помогите, пожалуйста, с анализом!

[IQsan]

Помогите, пожалуйста, решить задачи:
1) Доказать, что оператор $ \left(Ax \right)\left(t \right)=\int_{0}^{+\propto } x\left(s \right) {e}^{-ts} ds $ ограничен в пространстве ${L}_{2}\left[0, +\propto \right)$ и оценить его норму.
Решаю: беру норму оператора по определению. рассматриваю двойной интеграл. Выношу ${\left| \left| x \right| \right|}^{2}$. Остается посчитать двойной интеграл. Но он бесконечный. В ответе ||A||$\leq \pi $.

2)Доказать, что любая последовательность вложенных непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств в рефлексивном банаховом пространстве имеет непустое пересечение. Привести контрпример к этому утверждению для случая нерефлексивных банаховых пространств.
Решение: даже идей нет. Абсолютно по нулям.

3) Доказать, что оператор $A:{l}_{2}\rightarrow {l}_{2}$ , ${\left(Ax \right)}_{k}=\sum_{n=1}^{+\propto } {a}_{kn}{x}_{n}$, где $\sum_{k=1}^{+\propto }\sum_{n=1}^{+\propto }{\left|{a}_{kn} \right|}^{2}<\propto $, компактен. Является ли оператор А компактным в ${l}_{2}$ при условии $\lim_{i\rightarrow \propto }\sum_{j=1}^{+\propto } {\left|{a}_{ij} \right|}^{2}=0$.
Решение: аналогично 2). Идейный тупик.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Приведите свои попытки решения задач и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: ожидание пошаговых подсказок.

[Henrylee]

IQsan в сообщении #668837 писал(а):

Выношу ${\left| \left| x \right| \right|}^{2}$.

Вы что, оценили $e^{-2ts}\leqslant1$?

[IQsan]

Неравенство Гельдера применяю к интегралу. Получаю что ${\left|\int_{0}^{+\propto } {e}^{-ts} x\left(s \right) ds \right|}^{2}\leq \int_{0}^{+\propto}{\left|{e}^{-ts} \right|}^{2} ds \cdot{{||x(s)||}^{2}}_{{L}_{2}}$