Кратчайший доверительный интервал

[Ward]

Здравствуйте!

Найти кратчайший доверительный интервал основанный на статистике $X_{(1)}=\min \limits_{1\leqslant i \leqslant n} X_i,$ для параметра $\theta$ в распределении равномерном на $[\theta, 0]$, $\theta<0$

Моя попытка: Возьмем например статистику $G(X, \theta)=\dfrac{X_{(1)}}{\theta}$ и нетрудно показать, что она является центральной так как:
- ее распределение не зависит от $\theta$ и имеет вид:

$$F_{G(X,\theta)}(x) = \begin{cases} 0, & x\leqslant 0 \\ x^n, & 0\leqslant x \leqslant 1 \\ 1, & x\geqslant 1 \end{cases}$$

- при каждом $X=(X_1, X_2, \dots, X_n)$ функция $G(X, \theta)$ непрерывна и сторого монотонна по $\theta$ $(\theta<0)$
Построим доверительный интервал по данной центральной статистике.
Решим $g_1<G(X,\theta)<g_2$ относительно $\theta$ и получим $\dfrac{X_{(1)}}{g_2}<\theta<\dfrac{X_{(1)}}{g_1}$, т.е. $\theta_1<\theta<\theta_2$, где $\theta_1=\dfrac{X_{(1)}}{g_2}$ и $\theta_2=\dfrac{X_{(1)}}{g_1}$
Длину его нужно минимизировать при заданном уровне доверия:

$$\gamma=P\{\theta_1<\theta<\theta_2\}=P\left{g_1<\dfrac{X_{(1)}}{\theta}<g_2\right}=P\left{\dfrac{X_{(1)}}{\theta}<g_2\right}-P\left{\dfrac{X_{(1)}}{\theta}<g_1\right}=g_2^n-g_1^n$$

при $0\leqslant g_1<g_2\leqslant 1$
$\theta_2-\theta_1=X_{(1)}\left(\frac{1}{g_1}-\frac{1}{g_2}\right)\to \min$ при $g_2^n-g_1^n=\gamma$
Нетрудно понять, что минимум будет в точке $(g_1, g_2)=(1, \sqrt [n]{1+\gamma})$
Итак, кратчайший доверительный интервал, основанный на центральной статистике $G(X,\theta)$ есть $\left(\dfrac{X_{(1)}}{\sqrt [n]{1+\gamma}}, X_{(1)}\right)$

Скажите пожалуйста верно ли я решил ее?

[--mS--]

Почти. Вот только неравенство $g_1 < G(X,\theta)<g_2$ относительно $\theta$ Вы разрешили неверно, и в результате пара $0\leqslant g_1< g_2 \leqslant 1$ получилась такой, какой быть не может: $g_2 > 1$.

[Ward]

--mS--
извиняюсь за грубую ошибку.
Действительно, разрешив его относительно $\theta$ получим, что $\dfrac{X_{(1)}}{g_1}<\theta<\dfrac{X_{(1)}}{g_2}$ и минимум будет в точке $(g_1, g_2)=(1, \sqrt[n] {1-\gamma})$

[--mS--]

Ward в сообщении #668637 писал(а):

и минимум будет в точке $(g_1, g_2)=(1, \sqrt[n] {1-\gamma})$

Наоборот, $g_2$ больше.