Внутреннии и предельные точки.

[main.c]

Здравствуйте уважаемые форумчане.
В записях лекций столкнулся с теоремой:
Множество $E \subseteq R$ открыто тогда и только тогда, когда любая точка множества $E$ есть внутренняя точка $E$.
Тут ведь явно вместо слова внутренняя должно быть слово предельная или я что-то не понимаю?

[cool.phenon]

Вы путаете. То замкнутое множество содержит все свои предельные точки. И то, это только в метрических пространствах. А вот эта теорема,которая у вас записана - из топологии, то есть,подходит для любого топологического пространства

[xmaister]

main.c в сообщении #665989 писал(а):

Тут ведь явно вместо слова внутренняя должно быть слово предельная или я что-то не понимаю?

Нет, все правильно. Если точка $x\in E$ внутренняя, то существует окрестность $U_x$, содержащаяся в $E$.

cool.phenon в сообщении #665995 писал(а):

И то, это только в метрических пространствах.

Для определения предельных точек не нужна метрика.

[cool.phenon]

Я подразумевал определение на языке эпсилон-окрестностей. Совсем забыл,что в топологии тоже такое есть.
Само собой,прошу прощения, в топологическом пространстве определение не такое.

[xmaister]

Они эквивалентны будут эквивалентными. Не важно какую метрику Вы возьмете. Главное, чтобы топологии, индуцированные ими совпадали.

[main.c]

Спасибо.

[cool.phenon]

Я просто вспомнил,что бывают топологии, не индуцированные метриками, а там предельные точки тоже вводятся, но уже число с помощью окрестностей.