геометрия постранства

[g______d]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #657223 писал(а):

Другой собеседник, знающий этот термин, будет отвелечён другим термином. Так что справиться с ним можно только комиссией из разных специалистов.

Не знаю. Какой специалист тут может помочь? Разве что по птичьему языку. Лично я готов воспринимать текст, в котором используются общепринятые определения из математики (и даже из физики), а остальные поясняются. Если уж совсем плохо, мне есть у кого спросить, да и на форуме много компетентных людей.

Но это не распространяется на случай, когда автор сам придумывает термин и его не поясняет.

[bayak]

g______d в сообщении #657216 писал(а):

Вообще ничего не понял, честно. Что такое окружность-кольцо? Что такое двухслойная сфера? Что значит положение соприкосновения? Я очень подозреваю, что ошибка в том, что Вы вольно обращаетесь со словесными конструкциями, и это сложно поймать.

Давайте так. Вот у вас есть произведение проективной прямой на окружность. Давайте введем на проективной прямой угловую координату, пробегающую отрезок $[0;\pi)$, а на окружности --- заметающую отрезок $[0;2\pi)$. В этих координатах, какие точки с какими надо склеить, чтобы получилась сфера? Опишите множество склейки в этих координатах. Уверен, что будет не сфера.

По первому абзацу Вашего замечания: Попробую всё же пояснить эту геометрическую конструкцию. Возьмём ось в виде цилиндра, а кольцо в виде окружности, диаметр которой больше диаметра цилиндра. Тогда указанное ранее положение соприкосновения окружности и оси это пересечение двух противоположных образующих прямых цилиндра в двух противоположных точках окружности. Склейка точек соприкосновения всех окружностей с цилиндром и склейка границы заметаемой поверхности произойдёт в результате вырождения цилиндра в прямую.

По второму абзацу: Давайте на сфере выберим такие угловые координаты, что долгота пробегает отрезок $[0;\pi)$, а широта пробегает отрезок $[0;2\pi)$. На экваториальной плоскости реализуем проективную прямую с координатами долготы. Тогда, если через каждую точку проективной прямой (лежащей на экваторе) провести по одной окружности, которые не пересекаются между собой, то мы получим прямое произведение проективной прямой и окружности. Но если эти окружности выбраны так, что они лежат на сфере (и поэтому пробегают отрезок широты), то в полюсах они пересекаются, а следовательно для преобразования прямого произведения проективной прямой на окружность в сферу склеивать надо все точки прямого произведения $[0;\pi)\times[0;2\pi)$, которые соответствуют полюсам сферы, т.е. точки одного полюса $([0;\pi), \pi/2)$ и другого $([0;\pi), 3\pi/2)$.

[g______d]

bayak в сообщении #662433 писал(а):

для преобразования прямого произведения проективной прямой на окружность в сферу склеивать надо все точки прямого произведения $[0;\pi)\times[0;2\pi)$, которые соответствуют полюсам сферы, т.е. точки одного полюса $([0;\pi), \pi/2)$ и другого $([0;\pi), 3\pi/2)$.

Вы склеиваете в одну точку множество $[0;\pi)\times\{\pi\}$ и в другую точку множество $[0;\pi)\times\{3\pi/2\}$ на торе $[0;\pi)\times[0;2\pi)$. Т. е. берете две образующие окружности одного типа и стягиваете каждую в точку. Но ясно же, что в результате получатся две сферы, склеенные друг с другом по двум точкам, а никак не одна сфера.

[VPopov]

To kostiani
Попытаюсь ответить ровно по заголовку Вашей темы,не уклоняясь ни влево, ни вправо.

Из того факта, что всякая физическая система непременно содержит в себе математический аспект (объективно обладает логикой и структурой, и именно поэтому она может быть в принципе представлена в форме математической модели) вовсе не следует, что произвольная абстрактно-логическая конструкция непременно отображает физическую реальность.

Пример № 1. Допустим, мы хотим реализовать (интерпретировать) первую аксиому группы связи гильбертовой абстрактно-логической системы: «Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через каждую из точек А и В». Препятствие, встающее на пути интерпретатора данного положения, - отсутствие физических признаков, отличающих «точки А и В» от «прямой а». Без остенсивного представления о том, что значат слова «точка», «прямая», «проходит», «лежит на» и пр., все гильбертовы аксиомы геометрии не могут быть применены. Чтобы эти положения прибрели смысл и значение, мы должны наполнить физическим содержанием первичные термины. Таким наполнением служит евклидова система геометрии, которая в свою очередь есть индуктивное обобщение тысячелетнего опыта древнеегипетских, шумерийских и вавилонских землемеров и строителей.

Пример № 2. В начале XIX в. почти одновременно два математика – Н. И. Лобачевский и Я. Больяй – предложили рассматривать геометрию как аксиоматическую теорию, построенную на евклидовой же системе постулатов, но с исключением из нее постулата о единственности параллельной. Другие же основные положения евклидовой системы и ее первичные термины («точки», «прямые» и пр.), они сохранили такими, к которым все привыкли (традиционными). В итоге получилось неплохо (внешне непротиворечиво), но в систему выводов вклинилась нетрадиционная теорема: сумма углов треугольника меньше двух прямых. Из дальнейшего анализа этой теоремы следовало, что дефицит суммы углов треугольника зависит от его площади: чем меньше площадь треугольника Л.-Б., тем различие между суммами углов евклидова треугольника меньше и, наоборот. Очевидны два следствия этой теоремы (есть и другие, но мы не будем на них задерживаться): 1) при уменьшении треугольника Л.-Б. пределом ему служит треугольник Евклида, т. е. треугольники Е. и Л.-Б. совпадают в предельно малом; 2) в геометрии Л.-Б. не существует отношения подобия, т. е. невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющей другие размеры.

Предварительный вывод. Геометрия возникла из практических потребностей и достигла теоретического совершенства в системе Евклида, а все ее хорошие свойства обусловлены свойствами земного пространства, подлежащего измерению, планированию, архитектурной и художественной обработке и пр., а также и свойствами инструментов, которыми все эти действия производятся. Плюс к этому должен обеспечиваться закон сохранения: инструменты во время их применения не должны сокращаться или деформироваться, а пространство должно сохранять форму и размеры (в процессе землетрясения, например, с ним работать нельзя). В пространстве как таковом (пустом пространстве) таких условий не существуют и для его измерения приходится применять стабильное движение (полет вороны, например, не годится), что и есть логическая связка - пространство-время. Инвариантность пространственного промежутка в евклидовой геометрии – ее субстанциальное свойство, не подлежащее никакому пересмотру. Иными словами, евклидовость – это инвариант множества прямых. В геометрии Л.-Б. в связи с отрицательной кривизной пространства ( в римановой – в связи с положительной кривизной) пространственный промежуток и инструмент для его измерения (стержень) не удовлетворяют указанному свойству и, следовательно, постулату Архимеда - об измеримости одной величины посредством другой, принятой за единицу, и выражения результата измерения посредством числа.

Окончательный вывод. Под кривизной пространства в традиционной (евклидовой) геометрии понимают отклонение некоторых евклидовых соотношений от евклидовых же теорем, а под мерой кривизны – величину подобного отклонения в абсолютном (евклидовом же) исчислении. Это положение выражается формально в декартовой системе координат, являющейся моделью евклидова пространства, так:

$$\Delta r^2=g_{xx}\Delta x^2+g_{xy}\Delta x \Delta y+g_{yx}\Delta y \Delta x +g_{yy}\Delta y^2$$

, где $\Delta x$ и $\Delta y$ – разности координат двух точек какой-либо поверхности; $g_{xx}, g_{xy}, g_{yx}, g_{yy}$ – коэффициенты, характеризующие поверхность, на которой определяются разности координат. В случае евклидовой (не кривой) поверхности указанные коэффициенты принимают значения: $g_{xx}=g_{yy}=1$ и $g_{xy}=g_{yx}=0$, следовательно квадратичная форма принимает наиболее простую (евклидову) форму:

$$\Delta r^2=\Delta x^2+\Delta y^2$$

Резюме. В случае любой неевклидовой геометрии, т. е геометрии, в которой не выполняется теорема Пифагора, коэффициенты g не равны 1 или 0. Эти значения остаются постоянными, если кривизна постоянна и переменными, если она меняется от точки к точке. Но в любом случае мы кривизну сравниваем с евклидовой «прямизной», она инвариант любого пространства. Следовательно, кривизна пространства – это не отклонение от евклидовой структуры. а ее локальное изменение относительно указанного инварианта. Такое же представление о кривизне может быть применено и 3-х мерному пространству. Что же касается так называемых n- мерных пространств, то я об них судить не берусь.

[kostiani]

VPopov в сообщении #665452 писал(а):

Из того факта, что всякая физическая система непременно содержит в себе математический аспект (объективно обладает логикой и структурой, и именно поэтому она может быть в принципе представлена в форме математической модели) вовсе не следует, что произвольная абстрактно-логическая конструкция непременно отображает физическую реальность.

Это понятно.
Заблуждения они и в Африке заблуждения.

VPopov в сообщении #665452 писал(а):

Что же касается так называемых n- мерных пространств, то я об них судить не берусь.

Историю развития геометризации пространства вы выразили. А выразите теперь одним предложением что вы хотели сказать в свете вопроса по теме при условии что первое предложение вы уже произнесли.

[bayak]

g______d в сообщении #662441 писал(а):

bayak в сообщении #662433 писал(а):

для преобразования прямого произведения проективной прямой на окружность в сферу склеивать надо все точки прямого произведения $[0;\pi)\times[0;2\pi)$, которые соответствуют полюсам сферы, т.е. точки одного полюса $([0;\pi), \pi/2)$ и другого $([0;\pi), 3\pi/2)$.

Вы склеиваете в одну точку множество $[0;\pi)\times\{\pi\}$ и в другую точку множество $[0;\pi)\times\{3\pi/2\}$ на торе $[0;\pi)\times[0;2\pi)$. Т. е. берете две образующие окружности одного типа и стягиваете каждую в точку. Но ясно же, что в результате получатся две сферы, склеенные друг с другом по двум точкам, а никак не одна сфера.

С Новым годом!
g______d, Вы, похоже, остались в рамках традиционного определения широты и долготы, хотя я и обращал Ваше внимание на то, что в рамках применённого мной определения широта и долгота поменялись диапазоном.

Пусть широта $\varphi$ и долгота $\vartheta$ принимают значения: $0\leq\varphi<2\pi, 0\leq\vartheta<\pi.$
Тогда эти сферические координаты задают сферу:
$\begin{document} $\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases}$$
притом точки северного полюса это $([0;\pi), \pi/2)$, а южного - $([0;\pi), 3\pi/2)$.

[g______d]

Вы так и не ответили на конкретный вопрос. Какие точки на торе нужно склеить, чтобы получилось что-то, гомеоморфное сфере?

Введите какие-нибудь угловые координаты на торе и опишите в них множество склейки.

[VPopov]

С Новым Годом!

kostiani в сообщении #665846 писал(а):

выразите теперь одним предложением что вы хотели сказать в свете вопроса по теме при условии что первое предложение вы уже произнесли.

Вводную я Вам дал, а теперь - думайте сами. Например, что такое прямая как физический объект? Дело в том, что с позиции чистой математики -это столь же широкое и расплывчатое понятие, как и, скажем, абсолютное пространство в механике Ньютона. Здесь прежде всего необходимо обратиться к остенсивному способу представления знания, т. е. указать на какой-нибудь предмет и сказать товарищу или самому себе: "Вот прямая". Этим предметом может быть и палка, и туго натянутая струна и пр., т. е. любой предмет, не отличимый в рамках наблюдения от формы светового (лазерного) луча. Но представим себе далее, что линия, которую мы считаем прямой лишь на том основании, что она совпадает с формой луча, на самом деле кривая. Ведь именно эту визуальную ошибку совершили в свое время древние египтяне, поверив в кажущуюся "прямизну" земной (водной) поверхности. Вывод, который необходимо сделать и Вам, чтобы не уподобляться древним египтянам, заключается в следующем: евклидовость (или "прямизна") - дифференциальная мера пространства. Евклидовостью обладает и теннисный мяч, и футбольный мяч, и шарообразная форма Земли, и ее траектория относительно Солнца, в общем, все, но дифференциальная мера этой евклидовости - различная, и это различие формально описывает приведенная в предыдущем моем посте формула.

(Оффтоп)

Исходный материал физических наук - опыт познания реального мира, т. е. того мира, в котором обитает наблюдатель, но не мира, который можно вообразить, в особенности, на следующий день после достойной встречи Нового года.

[bayak]

g______d в сообщении #665868 писал(а):

Вы так и не ответили на конкретный вопрос. Какие точки на торе нужно склеить, чтобы получилось что-то, гомеоморфное сфере?Введите какие-нибудь угловые координаты на торе и опишите в них множество склейки.

Если в рамках вышеприведенных определений расширить диапазон долготы, то как раз и получится это что-то.

Пусть широта и долгота тора принимают значения: $0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$
Тогда эти торические координаты задают сферу:
$\begin{document} $\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases}$$
притом точки северного полюса это $([0;2\pi), \pi/2)$, южного - $([0;2\pi), 3\pi/2)$, а остальные точки сферы представляют собой склейку двух точек тора, а именно: $(\vartheta,\varphi)$ и $(\vartheta+\pi,\varphi)$ (в последнем выражении стоит сумма по модулю $2\pi$).

[kostiani]

VPopov в сообщении #665878 писал(а):

Здесь прежде всего необходимо обратиться к остенсивному способу представления знания,

Нет. Необходимо различать где понятие не определено, а где оно определено независимо от способа познания. Это философия. Если палку представить в виде прямой то необходимо точно определить область применения этого понятия.
Там где палка уже не является прямой существует способ другой ее применения---прямой. Только и всего.
Для этого и существует анализ и синтез. Все. Философия закончилась.
А теперь вопрос---какова геометрия пространства---ваше мнение? С учетом области применения. Возьмите самую широкую в пределе. Итак ваш ответ?

[Munin]

kostiani в сообщении #665846 писал(а):

Историю развития геометризации пространства вы выразили.

Кучей лжи.

[kostiani]

Munin в сообщении #665939 писал(а):

Кучей лжи.

Разберемся.

[bayak]

kostiani в сообщении #655770 писал(а):

3)каким образом определяются свойства пространства-времени? 4)И есть ли еще эти свойства? 5)Или уже все свойства изучены?

Если Вы ищете (или хотите найти) новые свойства пространства-времени, то я бы порекомендовал искать их в глобальной геометрии трёхмерного пространства наблюдателя. Например, было бы интересно узнать как это пространство вкладывается в глобальное пространство, и как расстояние между двумя точкам в пространстве наблюдателя связано с расстоянием между этими точками в глобальном пространстве. Проиллюстрировать это можно на примере одномерного пространства наблюдателя всюду плотно обёртывающего двухмерный тор. Подробности во введении по этой ссылке.

[VPopov]

С Новым годом!

Munin в сообщении #665939 писал(а):

Кучей лжи.

(Оффтоп)

Однако не понял, в кого вы эту самую "кучу" метнули в качестве подарка на весь 2013 г? В kostiani, в VPopov или в обоих сразу?

Вернусь для kostianiк самым, так сказать, началам геометрии. В качестве первичных понятий Евклид, не поясняя секретов своей нанотехнологии выбрал "точку", "прямую" и "плоскость". Можно дискутировать на тему о том, что дефиниции этих первичных понятий должны быть проведены так или иначе, но спорить о том, что они вообще не нужны (так, например, полагал Гильберт) - пустое дело, хотя необходимо согласиться, что все они не суть предметы, а некоторые идеализации предметов реального мира. (Гаусс, например, используя достаточно разработанную к его времени теорию предельного перехода, определил поверхность как тело, бесконечно тонкое в одном из своих измерений.)

Далее, мы не вправе утверждать, пользовался ли Евклид прототипом светового луча при введении понятия "прямая", или его определение - плод индуктивного обобщения прежних геометров, но в любом случае его "прямая", так же, как "точка" и "плоскость", являются первичными терминами его геометрии (без них она невозможна). Другое дело, "прямая" допускает конкретные физические реализации и именно в этом ее когнитивная сила, что и делает правомерным более сложный вопрос: "Какова геометрия пространства, формируемого светом?" Ясно, евклидова, т. к. для его измерения мы применяем правила евклидовой же геометрии (тригонометрию или определение длины окружности через ее радиус). при этом, каким бы изменениям и деформациям не подвергалось определенное таким способом пространство, геометрия, которой мы договорились изначально пользоваться, остается евклидовой, а все другие ее модификации - риманова, Л.-Б., проективная и пр. - лишь ее конвенциональные вариации.

[kostiani]

bayak в сообщении #665955 писал(а):

Если Вы ищете (или хотите найти) новые свойства пространства-времени,

Сказано хорошо но уточнил бы:каким образом можно найти в пределах научного метода новые свойства пространства времени? С чего начать? Где эта отправная точка. Выразите эту отправную точку одним предложением. Подумайте над этим предложением. Вы сами знаете где нужна спешка.
А так хорошо.
С Новым Годом.

-- 01.01.2013, 23:16 --

VPopov в сообщении #665957 писал(а):

Вернусь для kostianiк самым, так сказать, началам геометрии.

Оставьте ЗУ. Он не такой страшный поверьте. У Вас все хорошо. Мы только начали разбираться. Если конечно Вы понимаете смысл этого слова. ( И Это тоже разберем). Главное шаг влево или вправо---расстрел.