Решение 2 дифференциальных уравнений.

[KaDeaT]

1.${2{y'}^2}(y-xy')=1
Тут я попробовал, сделать замену
$y'=p
$$2p^2(y-xp)=1$
$$y=1/{2p^2} +px$
$$dy=-dp/p^3+pdx+xdp$
$$pdx=-dp/p^3+pdx+xdp$
$$dp(x-1/p^3)=0$

$$ \begin{cases} dp=0,&\text{} \\ (x-1/p^3)=0,&\text{} \end{cases} $$

Но наверное это неправильно.

2.$y'=|x||y+1|

т.к. производная $у \geqslant 0$ для любых x, значит функция y(x) возрастающая. Рассмотрим
$x_0: y(x_0)=0$, далее я рассматриваю случаи.
$x\geqslantx_0$ и $x<x_0$. Это чтобы раскрыть модули. Предположим, что $x_0\geqslant0$, тогда в случае $x\geqslantx_0$ модули раскрываются :
$y'=x(y+1)$. решая этот дифур, получаем
$y={{e^{x^2}} / 2 - c }/c.$
Далее я рассмотрел окрестность точки -1, в которой у=-2. в нем модули раскрываются: $y'=x(y+1)$. решая этот дифур получим $c=\sqrt{e}$.


Я правильно все это делаю? правилен ли ход решения?

[AKM]

KaDeaT в сообщении #663244 писал(а):

1.[math]${2{y'}^2}(y-xy')=1[/math]
..........
2.[math]$y'=\left x \right \left  y+1\right[/math]

Какой-то странный набор. Зачем эти \right-\left? Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее). $ formula $. И всё.

[KaDeaT]

Исправил.

[gris]

1. Там не система, а совокупность. То есть надо рассмотреть два случая.
$dp=0; p=C$. Интегрировать нельзя, иначе появится ещё одна константа. Подставляем.
$y=1/(2C^2)+Cx$
Либо $x-1/p^3=0$
Выражаем $p$ и тоже подставляем. Проверяем на особость.

[KaDeaT]

gris спасибо большое. Вроде получилось.
В первом случае,
$(y-Cx)2C^2=1$

А во-втором
$27x^2=8y^3$
Завтра узнаю на сколько верно.

Теперь, на повестке остается второе уравнение.

[probably]

Мне кажется, что если уж рассматривать интервалы, то за $x_{0}$ надо положить точку такую, что $y(x_{0})=-1$. Тогда в зависимости от знака $x_0$ и с учетом возрастания $y(x)$ получим:
1) Если $x_0 < 0$, то:
a) $x \in \left(-\infty,x_0\right)$, то $y'=x(y+1)$.
b) $x \in \left[x_0,0\right]$, то $y'=-x(y+1)$.
c) $x \in \left(0,+\infty\right)$, то $y'=x(y+1)$.

2) Если $x_0 > 0$, то:
a) $x \in \left(-\infty,0\right)$, то $y'=x(y+1)$.
b) $x \in \left[0,x_0\right]$, то $y'=-x(y+1)$.
c) $x \in \left(x_0,+\infty\right)$, то $y'=x(y+1)$.

Возможно, какие-то случаи можно объединить.

[KaDeaT]

probably, спасибо за помощь. Но оказывается я в спешке не до конца списал условие. Т.е. задача звучит иначе совсем.

Дано уравнение:
$y'=|x||y+1|$

Известно, что $y(-1)=-2$.
Необходимо найти $y(100)$

[ewert]

Чтобы не путаться с единичками, сделайте замену $y(x)+1=z(x)$; получится уравнение $z'=|xz|$. Начальное условие $z(-1)=-1$ задаёт точку в третьем квадранте, где $z'=xz$, и отвечает этому условию решение $z(x)=-e^{(x^2-1)/2}$ (которое Вы, в принципе, уже выписывали, только не до конца). При $x=0$ это решение выходит на границу четвёртого квадранта, в котором $z'=-xz$; вот и продолжайте его дальше.