Цепи Маркова

[Julia2012]

Нужно решить задачу:
В бесконечной последовательности занумерованных шаров каждый шар независимо от остальных является черным с вероятностью $p$ и белым с вероятностью $q=1-p$. В момент времени $n\{0,1,...\} $ урна содержит шары с номерами $n+1, n+2,...,n+N$. Пусть $\xi_{n}$ $--$ число белых шаров в урне в момент времени $n$. Найти а) $p_{ij}=P\{\xi_{n+1}=j|\xi_{n}=i\}$, $i,j\{0,1,...N\}$; б) $limP\{\xi_n=k\}=\pi_{k}$, $k\{0,1,...N\}$. Является ли последовательность $\xi_{n}$ цепью Маркова?

Прочитала теорию по цепям Маркова...но больше мыслей нет. Подскажите пожалуйста алгоритм решения.

[--mS--]

Очевидно, искать вероятности из п. (а). По определению.

[Julia2012]

То есть мне надо найти $p_{ij}$ и составить из них матрицу?Как найти эти $p_{ij}$? Пытаюсь разбирать то,что в учебниках и в интернете, там везде уже заданы матрицы. Как это в общем виде записать,не понимаю.

[--mS--]

В условии написано, кто такие $p_{ij}$...

[Julia2012]

Что такое $p_{ij}$ я понимаю.$p_{ij}$ - переходные вероятности, т.е условные вероятности того,что из состояния $i$ система перейдет в состояние $j$.Подскажите пожалуйста,как их можно найти?

[--mS--]

Вы нигде не потеряли букву $n$ в этих словах? Давайте конкретно. Что такое событие $\{\xi_n=i\}$, событие $\{\xi_{n+1}=j\}$, понимаете? Определение условной вероятности знаете?

[Julia2012]

Событие $\{\xi_{n}\}$ - в урне $\xi_{n}$ белых шаров - событие $i$ в момент времени $n$
Событие $\{\xi_{n+1}\}$ - в урне $\xi_{n+1}$ белых шаров - событие $j$ в момент времени $n+1$
Условной вероятностью $P_{A}(B)$ называют вероятность события $B$, вычисленную в предположении,что событие $A$ произошло.

[--mS--]

Не пойдёт. $\{\xi_n\}$ - это не событие. Прочтите условие, прочтите вопрос, и напишите правильно.

[Julia2012]

Состояние $\xi_{n}$ - в урне $\xi_{n}$ белых шаров - состояние $i$ в момент времени $n$
Состояние - $\xi_{n+1}$ - в урне $\xi_{n+1}$ белых шаров - состояние $j$ в момент времени $n+1$
Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении,что событие произошло.
Кажется так.

[--mS--]

Вы сами-то свои слова понимаете? Ещё раз, что означает событие $\{\xi_n=i\}$? Начните ответ словами: "это событие означает, что ..."

И давайте Вы напишете, чему равна $\mathsf P(\xi_n=i)$. Пока Вы этого не сделаете, бессмысленно в чём-то пытаться разбираться. Продемонстрируйте, пожалуйста, что Вы способны прочесть условие и найти элементарную вероятность.

[Yu_K]

Сама постановка задачи требует может дополнительного разъяснения. Из бесконечной последовательности шаров выбираем $N$ шаров в каждый момент времени $n$. В нулевой момент выбираем шары с номерами $1,2,...,N$ , в первый момент выбираем шары с номерами $2,3,...,N+1$ и тд. Как могут соотносится составы наборов из $N$ шаров для двух соседних моментов времени при заданных вероятностях соотношения белых и черных шаров в бесконечной последовательности.

[--mS--]

Да всё в условии целиком описано: в момент $n$ в урне есть шары с номерами такими-то.

[Julia2012]

Это событие означает что число белых шаров $\xi_{n}=i$.
Вероятность $P(\xi_{n}=i)=\frac{i}{N-1}$?
$N-1$, так как число шаров в урне равно $(n+N)-(n+1)=N-1$.

[--mS--]

Julia2012 в сообщении #663173 писал(а):

Это событие означает что число белых шаров $\xi_{n}=i$.

Да. Осталось ещё понять, откуда шары в урне берутся. Пожалуйста, то же самое, но в терминах исходной последовательности шаров, безо всяких урн.

Julia2012 в сообщении #663173 писал(а):

Вероятность $P(\xi_{n}=i)=\frac{i}{N-1}$?
$N-1$, так как число шаров в урне равно $(n+N)-(n+1)=N-1$.

Нет. Ваши вероятности в сумме дают далеко не единицу. Ещё раз читаем условие и пробуем понять, кто такое $\xi_n$ и откуда берётся.

Cколько, кстати, чисел в наборе $1, 2, \ldots, N$? Это не исправит ответ, но всё-таки...

[Julia2012]

Посмотрите,

Возможные варианты развития событий:
1)уйдет черный шар,придет черный - количество белых $i$ не изменится
2)уйдет черный шар,придет белый - количество белых увеличится
3)уйдет белый шар,придет белый - количество белых не изменится
4)уйдет белый шар,придет черный - количество белых уменьшится.

$p_{12}=P\{\xi_{n+1}=2|\xi_{n}=1\}=...$

$p_{13}=P\{\xi_{n+1}=3|\xi_{n}=1\}=0$

$p_{11}=P\{\xi_{n+1}=1|\xi_{n}=1\}=...$

$p_{21}=P\{\xi_{n+1}=1|\xi_{n}=2\}=...$

$p_{22}=P\{\xi_{n+1}=2|\xi_{n}=2\}=...$

$p_{23}=P\{\xi_{n+1}=3|\xi_{n}=2\}=...$

$p_{32}=P\{\xi_{n+1}=2|\xi_{n}=3\}=...$

$p_{33}=P\{\xi_{n+1}=3|\xi_{n}=3\}=...$

$p_{31}=P\{\xi_{n+1}=1|\xi_{n}=3\}=0.$

Я так понимаю,что мне нужно найти эти вероятности и составить из них матрицу $P$. Такой вот вопрос:это самые обычные условные вероятности?Самые-самые простые с первых страниц учебника? Зачем номера шаров и момент времени $n$?