Цепи Маркова

[--mS--]

Да, это самые-самые обычные условные вероятности. Считайте.
Зачем? - Чтобы сделать последовательность цепью Маркова. Кроме того, что это за шары приходят и уходят? У них номера есть?

[Julia2012]

Так,пробую считать вероятности.
Если ушел черный шар и пришел черный, то получаем:
$P_{A}(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$. Событие $A$-ушел черный шар,событие $B$ - пришел черный шар. $P(AB)=\frac{1}{4}$.Общее число исходов появления 2х шаров безразлично какого цвета =4.
Вероятность события $A=p$.
Получаем искомую $P_{A}(B)=\frac{1}{4p}$.Надеюсь,правильно посчитала.Это если ушел черный шар и пришел тоже черный. Т.е количество белых шаров не изменилось. Оно не изменяется в 3х вероятностях:$p_{11},p_{22},p_{33}$.Но количество белых шаров не изменяется и если уходит и приходит белый шар. Тогда $P_{A}(B)=\frac{1}{4q}$. Вот тут я запуталась. Какое значение нужно брать? И чем является $P_{A}(B)=\frac{1}{4p}$? $p_{11},p_{22},p_{33}$?Хотя $p_{11},p_{22},p_{33}$ будут равны. Но равны чему?$P_{A}(B)=\frac{1}{4p}$ или $$P_{A}(B)=\frac{1}{4q}$?Как это понять?

[--mS--]

Возьмите $p=0,001$ и посмотрите на свою вероятность. Найдите ошибку. После этого начинаем считать не какие-то абстрактные условные вероятности, а конкретно $p_{ij}$. Например, те, что записаны на предыдущей странице, а также те, что там пропущены.

1) Какие и сколько состояний бывает у $\xi_n$? Перечислите: $i=\ldots$?

2) Берём левый верхний элемент матрицы $p_{ij}$, записываем - что такое событие $A$, событие $B$, находим вероятности в числителе и знаменателе. Потом следующий.

[Julia2012]

$p_{12}=P\{\xi_{n+1}=2|\xi_{n}=1\}=\frac{N-i}{N}q$;


$p_{13}=P\{\xi_{n+1}=3|\xi_{n}=1\}=0$;

$p_{11}=P\{\xi_{n+1}=1|\xi_{n}=1\}=\frac{N-i}{N}p + \frac{i}{N}q$;

$p_{21}=P\{\xi_{n+1}=1|\xi_{n}=2\}=\frac{i}{N}p$;

$p_{22}=P\{\xi_{n+1}=2|\xi_{n}=2\}=\frac{N-i}{N}p + \frac{i}{N}q$;

$p_{23}=P\{\xi_{n+1}=3|\xi_{n}=2\}=\frac{N-i}{N}q$;

$p_{32}=P\{\xi_{n+1}=2|\xi_{n}=3\}=\frac{i}{N}p$;

$p_{33}=P\{\xi_{n+1}=3|\xi_{n}=3\}=\frac{N-i}{N}p + \frac{i}{N}q$;

$p_{31}=P\{\xi_{n+1}=1|\xi_{n}=3\}=0.$

В общем виде получаем:
$p_{ii}=\frac{N-i}{N}p + \frac{i}{N}q$;
$p_{i,i-1}=\frac{i}{N}p$;
$p_{i,i+1}=\frac{N-i}{N}q$.

-- 25.12.2012, 12:30 --

Вроде правильно посчитано. Теперь надо разбираться со вторым пунктом. Преподаватель сказала,что надо делать методом мат.индукции. Искать выражение для $\pi_{k}$.

Для $N=1$:
$\pi_{0}=q$;
$\pi_{1}=(1-q)$;

Для $N=2$:
$\pi_{0}=q^2$;
$\pi_{1}=2q(1-q)$;
$\pi_{2}=(1-q)^2$;

Для $N=3$:
$\pi_{0}=q^3$;
$\pi_{1}=3q^2(1-q)$;
$\pi_{2}=3q(1-q)$;
$\pi_{3}=(1-q)^3$.

Мне нужно вывести общую формулу для $\pi_{k}$. Не получается. Если считать для $N=4$ - получаются уже большие громоздкие выражения. Подскажите, как можно посчитать общую формулу?

[--mS--]

Выписать $\mathsf P(\xi_n = i)$. Вторую страницу предлагаю это сделать.

Интересно, откуда же Вы взяли вероятности $p_{ij}$, вычисление которых без знания $\mathsf P(\xi_n=i)$ невозможно?

[--mS--]

--mS-- в сообщении #663277 писал(а):

Зачем? - Чтобы сделать последовательность цепью Маркова.

Кстати, вопреки кажимости, эта последовательность не является цепью Маркова. Для этого достаточно (конечно, тому, кто посчитал вероятности выше) взять, например, $N=2$, вычислить и сравнить, например, вероятности $\mathsf P(\xi_3=1|\xi_2=1,\, \xi_1=0)$ и $\mathsf P(\xi_3=1|\xi_2=1)$.