Символ Лежандра и квадратичный закон взаимности

[Alex_CAPS]

Используя квадратичный закон взаимности, найти все простые $p$, по модулю которых 11 является квадратичным вычетом.

[Sonic86]

Задача простая. Ваши попытки решения?
Т.е. вы решаете уравнение $\left(\frac{11}{p}\right)=1$. Решайте.

[Alex_CAPS]

Согласно условию $(\frac{11}{p}) = (-1)^{5\frac{p-1}{2}}(\frac{p}{11})= 1$
Далее всё сводится к объединению двух систем: ${\begin{cases} (-1)^{5\frac{p-1}{2}} = 1}\\ (\frac{p}{11}) = 1$.} \end{cases}$
и
${\begin{cases} (-1)^{5\frac{p-1}{2}} = -1}\\ (\frac{p}{11}) = -1$.} \end{cases}$

[Sonic86]

Угу. Дальше. Решайте первую систему.

[Alex_CAPS]

Эти системы эквивалентны ${\begin{cases} p\equiv 1 (\mod 4)}\\ p^5 \equiv 1 (mod 11)$.} \end{cases}$
и
${\begin{cases} p\not\equiv 1 (\mod 4)}\\ p^5 \equiv -1 (mod 11)$.} \end{cases}$

-- 18.12.2012, 14:40 --

Далее встретил проблемы с формированием ответа т.к. не вижу закономерности, которая отразила бы все простые числа, удовлетворяющие данным системам.

[Sonic86]

Прааавильно Продолжайте
Только смотрите, что у Вас $p=2$ потерялось (при применении закона взаимности). Его отдельно обработайте.

-- Вт дек 18, 2012 11:42:55 --

И насчет $p^5\equiv 1\pmod {11}$ - только не пытайтесь решать это сравнение как уравнение. Можно проще. Догадайтесь как. (просто не переходите к этому сравнению)

[Alex_CAPS]

За двойку отдельное спасибо.
Для первой системы нашёл перебором 5, 37, 53 и как-то мне этот метод не понравился совсем.

[Sonic86]

Alex_CAPS в сообщении #660194 писал(а):

Для первой системы нашёл перебором 5, 37, 53 и как-то мне этот метод не понравился совсем.

Не (не очень понятно, что именно Вы делали). Давайте сосредоточимся на уравнении $\left(\frac{p}{11}\right)=1$. Как его можно просто решить? (абстрагируйтесь от простоты $p$. Считайте, что решаете уравнение $\left(\frac{x}{11}\right)=1$)

[Alex_CAPS]

Alex_CAPS в сообщении #660187 писал(а):

Согласно условию $(\frac{11}{p}) = (-1)^{5\frac{p-1}{2}}(\frac{p}{11})= 1$
Далее всё сводится к объединению двух систем: ${\begin{cases} (-1)^{5\frac{p-1}{2}} = 1}\\ (\frac{p}{11}) = 1$.} \end{cases}$
и
${\begin{cases} (-1)^{5\frac{p-1}{2}} = -1}\\ (\frac{p}{11}) = -1$.} \end{cases}$

Рассмотрим 1 уравнение 1 системы.
$(-1)^{5\frac{p-1}{2}} = (-1)^{\frac{p-1}{2}} = 1$. Решение этого уравнение эквивалентно решению сравнения $p\equiv1(\mod 4)$
Второе уравнение системы равносильно $p^5\equiv1(\mod11)$. Замечаем, что это сравнение справедливо для простых $p$ равных 3 и 5 $\mod 11$
Из этого следует, что 1 систему можно представить как объединение более простых систем:
${\begin{cases} p\equiv1(\mod 4)}\\ p\equiv 3 (\mod11)$.} \end{cases}$
и
${\begin{cases} p\equiv1(\mod 4)}\\ p\equiv 5 (\mod11)$.} \end{cases}$
Используя китайскую теорему об остатках нахожу решения для этих систем:
$x_0\equiv1*11*3+3*4*3\equiv33+36\equiv25(mod 44)$
$x_1\equiv1*11*3+5*4*3\equiv33+60\equiv5(mod 44)$

-- 21.12.2012, 18:08 --

Аналогичные действия приводят к решению второй системы.
$x_2\equiv35(\mod44)$
$x_3\equiv 7 (\mod44)$

[Sonic86]

Alex_CAPS в сообщении #661477 писал(а):

Второе уравнение системы равносильно $p^5\equiv1(\mod11)$. Замечаем, что это сравнение справедливо для простых $p$ равных 3 и 5 $\mod 11$

Это неточное описание. Дальше решение выглядит верно, но из-за неточного вывода решения теряются.
Во-первых, сколько решений имеет уравнение $x^5\equiv 1\pmod{11}$?
Во-вторых, я Вам все-таки предлагаю решить уравнение

Sonic86 в сообщении #660195 писал(а):

Давайте сосредоточимся на уравнении $\left(\frac{p}{11}\right)=1$. Как его можно просто решить? (абстрагируйтесь от простоты $p$. Считайте, что решаете уравнение $\left(\frac{x}{11}\right)=1$)

Когда его правильно решите, дальше все будет правильно (скорее всего).

З.Ы. Умножение пишется

\cdot

Пример: $a\cdot b$