Автоморфизм верхней полуплоскости

[Ward]

Здравствуйте!

Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения полуплоскости $\text{Im}z>0$ на полуплоскость $\text{Im}w>0$ дается формулой $w=\frac{az+b}{cz+d}$, где $a, b, c, d$ - произвольные постояннные, удовлетворяющие условию $ad-bc=1$

Помогите пожалуйста! Дайте хотя бы идею.

[bot]

Вообще-то эта формула даёт общий вид любого дробного-линейного преобразования. В него включаются, к примеру, повороты. Вам требуется найти найти ограничения на коэффициенты, чтобы эта формула действительно давала отображение верхней полуплоскости на себя. Возьмите несколько точек (сколько и какие лучше взять?) в верхней полуплоскости и потребуйте, чтобы их образы оказались там же.

[Ward]

bot
Ну если взять три точки, а именно:
Пусть некоторая точка $a$ переходит в $0$, $\infty$ переходит в $b\in\mathbb{C}$, $1$ переходит в некоторую точку $c\in \mathbb{R}$ (по принципу сохранения границ), т.е. получаем таблицу:

$$\begin{array}{c|c} z & w \\ \hline a&0\\ \infty&b\\ 1&c\\ \end{array}$$

Верно?

[ewert]

Ward в сообщении #657262 писал(а):

общий вид дробно-линейного отображения полуплоскости $\text{Im}z>0$ на полуплоскость $\text{Im}w>0$ дается формулой $w=\frac{az+b}{cz+d}$, где $a, b, c, d$ - произвольные постояннные, удовлетворяющие условию $ad-bc=1$

Это утверждение просто неверно. С одной стороны, в нём ничего не говорится про вещественность коэффициентов (а они в определённом смысле обязаны быть вещественными). С другой стороны, если они всё-таки вещественны, то, грубо говоря, в половине случаев перевод будет осуществляться в верхнюю полуплоскость, а в другой половине -- в нижнюю. Поэтому условием может быть некоторое неравенство, но никак не равенство.

Выделите из дроби целую часть -- всё станет как-то очевидным.

[Ward]

ewert
Неверно?
Эту задачу я взял из задачника Евграфова.
А каким должно быть правильное условие тогда?

P.S. Вот выделил целую часть и получил следующее:

$$\dfrac{az+b}{cz+d}=\dfrac{\frac{a}{c}(cz+d)+b-\frac{ad}{c}}{cz+d}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c(cz+d)}$$

Но пока ничего не ясно из этой записи

[ewert]

Ward в сообщении #657322 писал(а):

А каким должно быть правильное условие тогда?

Положительность той разности. С какой стати именно единица-то? Это требование выглядит даже и нелепым.

[Ward]

Почему нелепым? Можно каждое из параметром поделить на $ad-bc$ и получаем 1
А откуда Вы получили, что та разность должна быть положительной?

[ewert]

Ward в сообщении #657322 писал(а):

$$\dfrac{az+b}{cz+d}=\dfrac{\frac{a}{c}(cz+d)+b-\frac{ad}{c}}{cz+d}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c(cz+d)}$$

Вот именно. Это -- комбинация инверсии относительно некоторой точки, затем сжатия/поворота и затем сдвига: $w=\alpha+\dfrac{\beta}{z-\gamma}$. Какими должны быть параметры $\gamma\;\beta,\;\alpha$ (именно в этом порядке), чтобы вещественная ось переходила в себя?... Ну и потом наложите дополнительное требование: верхняя полуплоскость должна переходить именно в верхнюю, а не в нижнюю. Для этого достаточно подставить одну точку (угадайте, какую выгоднее).

[fancier]

ewert в сообщении #657320 писал(а):

Ward в сообщении #657262 писал(а):

общий вид дробно-линейного отображения полуплоскости $\operatorname{Im}z>0$ на полуплоскость $\operatorname{Im}w>0$ дается формулой $w=\frac{az+b}{cz+d}$, где $a, b, c, d$ - произвольные постояннные, удовлетворяющие условию $ad-bc=1$

Это утверждение просто неверно. [] С другой стороны, если они всё-таки вещественны, то, грубо говоря, в половине случаев перевод будет осуществляться в верхнюю полуплоскость, а в другой половине -- в нижнюю. Поэтому условием может быть некоторое неравенство, но никак не равенство.

Что называется дробно-линейным отображением -- формальная запись или именно отображение? В последнем случае не вижу разницы: если $w=\frac{az+b}{cz+d},\quad ad-bc=\delta>0,$ то

$$\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\frac{a}{\sqrt{\delta}}z+\frac{b}{\sqrt{\delta}}}{\frac{c}{\sqrt{\delta}}z+\frac{d}{\sqrt{\delta}}},$$

где теперь уже $\frac{ad-bc}{\delta}=1$.

[ewert]

fancier в сообщении #657379 писал(а):

Что называется дробно-линейным отображением -- формальная запись или именно отображение? В последнем случае не вижу разницы

Да просто формулировка безобразна. Правильной была бы, например, такая:

"дробно-линейное отображение отображает верхнюю полуплоскость на себя тогда и только тогда, когда его можно представить в виде $w=\frac{az+b}{cz+d}$, где коэффициенты $a, b, c, d$ вещественны и удовлетворяют условию $ad-bc=1$".

[fancier]

(Оффтоп)

Цитата:

Да просто формулировка безобразна. Правильной была бы, например, такая:

"дробно-линейное отображение отображает верхнюю полуплоскость на себя тогда и только тогда, когда его можно представить в виде $w=\frac{az+b}{cz+d}$, где коэффициенты $a, b, c, d$ вещественны и удовлетворяют условию $ad-bc=1$".

Согласен.

[Ward]

ewert
Ну да мы получаем, что $w=\alpha+\dfrac{\beta}{z-\gamma}$, где $\alpha=\dfrac{a}{c}, \beta=\dfrac{b}{c}-\dfrac{ad}{c^2}, \gamma=-\dfrac{d}{c}$
Очевидно, что наше отображения можно записать так: $z_1=z-\gamma$, $z_2=1/{z_1}$, $w=\alpha+\beta z_2.$ Первое это сдвиг, вторая инверсия, а третье поворот с ратяжением и сдвиг.
Нам нужно перевести $\text{Im}z>0$ в $\text{Im}w>0.$
Чтобы вещественная ось переходила в себя нужно, чтобы $\gamma\in \mathbb{R}$.
При таком условии $z_2$ тоже вещественное. А чтобы и $w$ было вещественным нужно чтобы $\alpha, \beta\in \mathbb{R}$ или $\dfrac{\text{Im}\alpha}{\text{Im}\beta}=-z_2$
Верно?

[Ward]

Никак отсюда не могу придти к условию, что $ad-bc>0$

[Ward]

Помогите пожалуйста

[ewert]

Вы уже знаете (надеюсь), что все четыре исходных коэффициента вещественны (с точностью до общего комплексного множителя, на который тогда можно сократить). Остаётся лишь потребовать, чтобы хоть одна точка с положительной мнимой частью переходила в точку с тоже положительной мнимой частью. Ну так просто подставьте в исходную дробь такое число, чтобы знаменатель оказался чисто мнимым -- условие на знак вылезет автоматически.