Найти производную в точке разрыва

[[e-mail]]

Дана функция. $f(x)=|x|\sin(x)+\frac{1}{1+x^2}+\frac{\tg(x)}{x}$
Доопределить ее по непрерывности при x=0,
вычислить производную в x=0,
вычислить производную в любой точке $x\neq 0$
Мой ход решения.
Доопределить функцию по непрерывности в точке, значит найти предел функции при значении x, стремящемся к данной точке.
$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=2$
Т.е функция будет иметь вид (Правильно?)
$f(x)=|x|\sin(x)+\frac{1}{1+x^2}+\frac{\tg(x)}{x}$при $x\neq 0$
Доопределила $f(0)=2$
Проблема возникла при поиске производной в точке 0.
Функцию я доопределила.$f(0)=2$ При расчете односторонней производной получается неопределенность $0/0$ , а дальше по правилу Лопиталя, еще сложнее выходит
Сначала вот как я получила неопределенность.
Левосторонняя производная
$\lim\limits_{x\to 0}(f(x)-f(0))/x$
Числитель стремится к нулю
$\lim\limits_{x\to 0}(f(x)-f(0))=-\sin(x)+\frac{1}{1+x^2}+\tg(x)/x-2=0$
и соответственно знаменатель стремится к нулю.
Начинаю искать по правилу Лопиталя. Предел от производной числителя.
$\lim\limits_{x\to 0}(-\cos(x)+\frac{2x}{(1+x^2)^2}+\frac{\frac{x}{\cos(x)^2}-\tg(x)}{x^2})$
С пределами первых двух слагаемых понятно. А предел третьего слагаемого, где тангенс, опять у меня ничего не выходит . ноль на ноль получается. Я уже не знаю, что делать. где ошибка. видно где-то в начале.

[ИСН]

Можно и так, да. Левая производная, правая производная, а если обе они есть и равны - то это также и обычная производная.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом полностью, как написано здесь, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

Оформлять формулы следует целиком, а не частями.
Не равно пишется так: $A\neq B$ (наведите мышкой на формулу и увидите ее код)

$A\neq B$

Предел пишется так:
$\lim\limits_{x\to a}f(x)$

$\lim\limits_{x\to a}f(x)$

[[e-mail]]

верните тему из карантина

[ИСН]

разберитесь со слагаемыми по отдельности, ну.

[bot]

[e-mail] в сообщении #652790 писал(а):

$\lim\limits_{x\to 0}(f(x)-f(0))=-\sin(x)+\frac{1}{1+x^2}+\tg(x)/x-2=0$

Здесь ошибка вообще чепуха какая-то.
Теперь по делу. У Вас три слагаемых. По очереди их можно в точке $x=0$ продифференцировать?

[[e-mail]]

Там вот так должно быть. я первый x пропустила
$\lim\limits_{x\to 0}(f(x)-f(0))=-x\sin(x)+\frac{1}{1+x^2}+\tg(x)/x-2=0$

-- 08.12.2012, 14:08 --

поочереди их можно продифференцировать. я же это и сделала

-- 08.12.2012, 14:18 --

поочереди, это в смысле у изначально данной функции? Продифференцировать слагаемые?
В том то и дело, что в общем виде. когда я ищу производную, я это сделала.
А нужно найти производную в т. 0.
А это я предполагаю, надо делать по определению односторонней производной.

-- 08.12.2012, 14:22 --

на каком этапе ошибка(

-- 08.12.2012, 14:27 --

по определению, чтобы найти производную в т. разрыва, нужно воспользоваться формулой
$\lim\limits_{x\to 0}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0})$

-- 08.12.2012, 14:28 --

Рассматриваю числитель
$\lim\limits_{x\to 0}(f(x)-f(0))=-x\sin(x)+\frac{1}{1+x^2}+\tg(x)/x-2=0$
и знаменатель 0

-- 08.12.2012, 14:35 --

А если без правила Лопиталя
Расписать в виде суммы 3 дробей, как я изначально и делала, когда бесконечность получалась (bot)

$\lim\limits_{x\to 0}(\frac{f(x)-f(0)}{x-0})=\lim\limits_{x\to 0}(-\sin(x)+\frac{1}{x(1+x^2)}+\frac{\tg(x)}{x^2})$
с пределами первого слагаемого понятно. это 0. второе слагаемое уже бесконечность, а третье опять 0.
Итого, левая производная есть бесконечность. значит производной в т.0 не существует.

[[e-mail]]

все равно неправильно

[bot]

[e-mail] в сообщении #655775 писал(а):

по определению, чтобы найти производную в т. разрыва

В точке разрыва производной не существует. Вам же уже сказали - дифференцируйте каждое слагаемое в отдельности.

[ИСН]

У Вас нет никаких точек разрыва. И разберитесь со слагаемыми по отдельности. Да.

[[e-mail]]

т.е я нахожу производную в общем виде. это я сделала.
т.е все рассуждения про одностороннюю производную неверные? вообще?

-- 09.12.2012, 18:39 --

но я все равно не понимаю. как в т. 0 найти производную??? и чем производая в т. 0 отличается от производной для любой точки?

-- 09.12.2012, 18:47 --

я нашла производную для x положительного, отрицательного. а в т. 0 , это в выражение для производной подставить значение 0 для x? как мне найти значение производной от последнего слагаемого
$\frac{\frac{x}{\cos(x)^2}-\tg(x)}{x^2}$ в т. 0?

-- 09.12.2012, 18:47 --

это я написала производную последнего слагаемого

-- 09.12.2012, 18:52 --

в точке разрыва производная существует и равна пределу односторонних производных (если они равны между собой) Почему у меня нет точки разрыва?

-- 09.12.2012, 19:07 --

Я понимаю, что я не права. но не понимаю в чем?

[[e-mail]]

Все я правильно делаю, по определению односторонней производной. просто прошу совета. как найти предел при неопределенность 0\0

[ИСН]

Как хотите - методов нахождения пределов много. Разложить всё в ряд Тейлора. Или лопиталить. Или домножить всё выражение на $\cos^2x$ (мы ведь знаем, какой у него предел), и тогда уже лопиталить. Мало ли.

[[e-mail]]

Спасибо, буду пробывать.

-- 10.12.2012, 05:47 --

домножу я на $\cos^2x$ , зная , что предел его 1, получится в числителе $\sin(x)\cos(x)$. а в знаменателе тот же ноль

[ИСН]

ИСН в сообщении #656398 писал(а):

и тогда уже лопиталить.