Riesz´s Лемма

[Alexeybk5]

Здравствуйте, помогите пожалуйста понять лемму Рейза...

Определение:

Положим,что X линейное нормированное пространство, Y закрытое собственное подпространство Х и $\alpha$ вещественное число , такое что
$0<\alpha<1$
Тогда существует такой $x$ в $X$, что

$$ ||x||=1: ||x-y||>\alpha, \all y \in Y $$

что в этом определении значит $||x||=1$ и с какой целью мы его так описываем?

[мат-ламер]

$x=-y/||y||$ подходит?

(Оффтоп)

А может имелась в виду лемма о почти перпендикуляре?

[Alexeybk5]

мат-ламер в сообщении #652495 писал(а):

$x=-y/||y||$ подходит?

(Оффтоп)

А может имелась в виду лемма о почти перпендикуляре?

Ну в принципе, да. Но всё равно не понимаю смысл. Т.е. замысел этой леммы в том, чтобы описать условие, когда множество является плотным... Но как это следует из вот такой её формулировки?

п.с. у меня в конспекте есть доказательство этой леммы, но оно лишь, показывает, как вывести эту лемму, а не то, как это связанно с плотностью.

(Оффтоп)

Вроде нет
http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma

[мат-ламер]

А, неравенство выполняется не для конкретного $y$, а для всех $y$. Извиняюсь, я не так понял условие.

-- Сб дек 01, 2012 18:39:54 --

Почитайте http://dxdy.ru/topic20135.html.

[Alexeybk5]

мат-ламер в сообщении #652506 писал(а):

А, неравенство выполняется не для конкретного $y$, а для всех $y$. Извиняюсь, я не так понял условие.

Это я плохо записал условие, приношу извенения, просто пришлось переводить с английского, поэтому получилось так криво. Вот так кажется лучше.
Имеем линейное нормированное пространство X и обственное закрытое подпространство Y линейного пространства Х. Тогда, можем взять вещественное число $\alpha$ : $0<\alpha<1$. И существует элемент принадлежазий пространству Х, который обозначим через X_1, такой что

$$ ||x_1||=1, (\all y \in Y, ||x_1-y|| \leq \alpha) $$

[мат-ламер]

Допустим есть подпространство и единичная сфера. Какая точка на сфере наиболее удалена от всех точек подпространства?. Если мы смогли провести перепендикуляр к подпространству и найти его пересечение со сферой, то задача решена. Вот только перпендикуляр в произвольном пространстве мы провести не можем. Вот и начинается бодяга.

-- Сб дек 01, 2012 19:00:35 --

Мне кажется смысл этой леммы состоит в попытке хоть как-то ввести понятие перпендикулярности в нормированном пространстве.

[Alexeybk5]

мат-ламер в сообщении #652519 писал(а):

Допустим есть подпространство и единичная сфера. Какая точка на сфере наиболее удалена от всех точек подпространства?. Если мы смогли провести перепендикуляр к подпространству и найти его пересечение со сферой, то задача решена. Вот только перпендикуляр в произвольном пространстве мы провести не можем. Вот и начинается бодяга.

-- Сб дек 01, 2012 19:00:35 --

Мне кажется смысл этой леммы состоит в попытке хоть как-то ввести понятие перпендикулярности в нормированном пространстве.

Спасибо, но честно говоря, я не очень понял. как это может следовать из этой леммы)
более того, для меня немного непонятно, ведь норму в этом пространстве мы определяем вот таким образом

$ ||x||=(\alpha_1,\alpha_2,\dots\,\alpha_k)=\sum_{j=1}^{k} |\alpha_j|$
и потом мы в этой леме пишем, что
$||x||=1$ ...

p.s.
в википедии говорят, что эта лемма указывает условия. которые гарантируют что множество, котрое удовлетворяет этим условия, плотно... но почему, это следует ?

http://en.wikipedia.org/wiki/Riesz's_lemma

[мат-ламер]

Alexeybk5 в сообщении #652529 писал(а):

в википедии говорят, что эта лемма указывает условия. которые гарантируют что множество, котрое удовлетворяет этим условия, плотно... но почему, это следует ?

Вопрос не понял. Наооборот, из леммы следует, что собственное замкнутое подпространство не может быть плотным.

[Alexeybk5]

мат-ламер в сообщении #652556 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #652529 писал(а):

в википедии говорят, что эта лемма указывает условия. которые гарантируют что множество, котрое удовлетворяет этим условия, плотно... но почему, это следует ?

Вопрос не понял. Наооборот, из леммы следует, что собственное замкнутое подпространство не может быть плотным.

Точнее подмножество)

Riesz' lemma (after Frigyes Riesz) is a lemma in functional analysis. It specifies (often easy to check) conditions which guarantee that a subspace in a normed linear space is dense.

А вот почему она это гарантирует ?

[мат-ламер]

Alexeybk5 в сообщении #652567 писал(а):

It specifies (often easy to check) conditions which guarantee that a subspace in a normed linear space is dense.

Возможно имелось в виду, что эти условия состоят в том, что подпространство должно совпадать со всем пространством? Линейное многообразие (не совпадающее со всем пространством) может быть плотным, но оно не будет подпространством.

[Alexeybk5]

мат-ламер в сообщении #652587 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #652567 писал(а):

It specifies (often easy to check) conditions which guarantee that a subspace in a normed linear space is dense.

Возможно имелось в виду, что эти условия состоят в том, что подпространство должно совпадать со всем пространством? Линейное многообразие (не совпадающее со всем пространством) может быть плотным, но оно не будет подпространством.

Может быть ) Спасибо, буду думать)