Перенормировка массовой поверхности (КЭД)

[type2b]

pupsik в сообщении #650648 писал(а):

Это она?

ага.

[Alex-Yu]

pupsik в сообщении #650559 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #650408 писал(а):
Что же до внешних линий, то туда надо просто подставить экспериментальную массу.

Вот мне совсем непонятно, как это так - взять и подставить. У этого же какие-то основания должны быть?

Так. Что такое внешняя линия? Это решение волнового уравнения, получающегося из СВОБОДНОГО лагранжиана. Точнее, именно для внешней, амплитуда такого решения в виде плоской волны, но не важно. Затравочную массу (расходящуюся при снятии промежуточной регуляризации) мы разбили на две части: физическую и контрчлен. Слагаемое с контрчленом перекинули во взаимодействие. В свободном лагранжиане осталась именно физическая масса. Именно она и будет во внешних линиях (да и в пропагаторах тоже). Если мы применяем обычную нормировку на массовой поверхности, то полюс пропагатора должен быть как раз на той массе, что мы оставили в свободном лагранжиане (поэтому она и физическая, именно этим условием определяется то, что мы в свободном лагранжиане оставили "правильную", физическую массу). При этом величина $\Sigma(p^2=m^2)$ должна полностью убиваться массовым контрчленом (иначе полюс пропагатора будет не на массовой поверхности $p^2=m^2$). Рецептурно это сводится к тому, что от $\Sigma(p^2)$ надо отнять не зависящую от импульса $p$ (он фиксирован условием $p^2=m^2$) величину $\Sigma(p^2=m^2)$ и везде использовать физическую массу. Такая разность уже конечна при снятии промежуточной регуляризации, интегралы сходятся (если сначала отнять и лишь потом интегрировать).

[pupsik]

Alex-Yu, что Вы обозначаете символом $\Sigma(p^2)$ и где можно почитать теорию перенормировок в таком виде, в котором Вы излагаете? И ещё вопрос: всё-таки, вакуум надо выбирать соответствующий физической массе?

[Alex-Yu]

pupsik в сообщении #650862 писал(а):

что Вы обозначаете символом $\Sigma(p^2)$

Собственно-энергетическую часть, массовый оператор. Это стандартное обозначение. Петлевые поправки к электронному пропагатору сводятся к тому (если просуммировать геометрическую прогрессию, о которой Вы упоминали) что в знаменателе кроме $\gamma^n p_n$ и $m$ возникает еще и эта самая сигма. На диаграммном языке изображается как электронная двуххвостка, но с отрубленными внешними линиями и выкинутыми диаграммами, которые можно разрезать на две части по одной электронной линии.

-- Ср ноя 28, 2012 15:24:30 --

pupsik в сообщении #650862 писал(а):

где можно почитать теорию перенормировок в таком виде, в котором Вы излагаете?

Да в любом учебнике по КТП... Ну в точности не знаю, я написать учебник по КТП не удосужился Ну возмите, к примеру Рамона (но там не КЭД), Боголюбова-Ширкова и т.д. А вообще, читая учебники, надо самому соображать. Учебники это только для того, чтобы идеи уловить. А дальше надо получать все самому.

-- Ср ноя 28, 2012 15:33:27 --

pupsik в сообщении #650862 писал(а):

всё-таки, вакуум надо выбирать соответствующий физической массе?

Этого вопроса я не понял. В КЭД вакуум один и тот же, как ни устраивай перенормировку. А вот массу в свободном лагранжиане можно выбрать и другую (ренорм-групповая инвариантность называется), но тогда эта масса не будет совпадать с измеряемой экспериментаторами и изменится рецепт вычитаний (но полюс пропагатора в любом случае должен быть на физической массе, измеряемой экспериментаторами!). Но все наблюдаемые ответы были бы теми же самыми, если бы мы могли просуммировать весь ряд теории возмущений. Правда, при этом возникнут проблемы с плоскими волнами, так что для начала этим лучше не заморачиваться. Разберитесь сначала с перенормировками в простом виде, ренорм-группа это уже потом, а то "утоните". Сначала Вам надо еще с перенормировкой заряда разобраться. Это немного "хитрее", хотя суть та же.

[VladimirKalitvianski]

pupsik в сообщении #650862 писал(а):

Alex-Yu, что Вы обозначаете символом $\Sigma(p^2)$ и где можно почитать теорию перенормировок в таком виде, в котором Вы излагаете? И ещё вопрос: всё-таки, вакуум надо выбирать соответствующий физической массе?

Есть книжка Ахиезера-Берестецкого "Квантовая Электродинамика" с этими обозначениями и объяснением про внешние линии.

Перенормированные поля имеют свой (физический) вакуум, с ним и работаете.

[VladimirKalitvianski]

pupsik в сообщении #650559 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #650408 писал(а):

Что же до внешних линий, то туда надо просто подставить экспериментальную массу.

Вот мне совсем непонятно, как это так - взять и подставить. У этого же какие-то основания должны быть?...
Где почитать, что есть тру внешняя линия?

Ваши сомнения совершенно резонны. Во-первых, и это главное, точные уравнения никогда не свободные, а соответствуют все время взаимодействующим полям. В частности, "свободный электрон", ну тот, что вышел из столкновения и улетел далеко-далеко, продолжает взаимодействовать с квантованными электромагнитным и электронно-позитронным полями, которые сами по себе не отключаются, так что уравнение Дирака для такого электрона никогда не свободное. Поэтому, если исходить из свободного уравнения, как нулевого приближения, то требуется учет данного взаимодействия точно так же, как и в пропагаторах. Этот (пертурбативный) учет проводится в два этапа. Один из этапов, это учет всевозможных петлевых вставок и сводится к поправкам к массе и нормировочному коэффициенту электронного поля. Поправки к массе устраняются их отбрасыванием или, как теперь умно говорят, перенормировкой массы, а поправка к нормировке поля остается, но она сокращается с перенормировочным коэффициентом функции Грина, стоящей в произведении. В итоге во внешней линии остается решение свободного уравнения Дирака с экспериментальным численным значением массы электрона. У многих складывается впечатление, что решение несвободного уравнения Дирака превращается в решение свободного. Но такое решение все еще не физично, если речь идет о рассеянии зарядов.

Второй "эффект" (этап учета) постоянного взаимодействия состоит в добавлении к прямой внешней линии множества исходящих фотонных линий - внешняя линия обростает "волосами", так как при рассеянии всегда излучаются мягкие фотоны в больших количествах. Учет этих линий обязателен и ведет к инклюзивному сечению рассеяния. Только оно отлично от нуля. Так что внешние линии всегда еще и "волосатые" и никогда не свободные в физически правильных расчетах. Об этом пишут в главах, посвященных инфракрасным делам, то есть, далеко-далеко от начала книги.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #650866 писал(а):

Учебники это только для того, чтобы идеи уловить. А дальше надо получать все самому.

Всё-таки не следует терять совместимости с общепринятыми расчётами, обозначениями, и в конечном счёте экспериментальными данными.

VladimirKalitvianski в сообщении #650941 писал(а):

оправки к массе устраняются их отбрасыванием или, как теперь умно говорят, перенормировкой массы

Незачем паясничать. Alex-Yu привёл корректные объяснения, после них ваши фразы даже как юмор не смотрятся.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #650971 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #650941 писал(а):

поправки к массе устраняются их отбрасыванием или, как теперь умно говорят, перенормировкой массы

Незачем паясничать. Alex-Yu привёл корректные объяснения, после них ваши фразы даже как юмор не смотрятся.

Проблема перенормировок старая и трудная, и есть несколько "толкований" и "обоснований" тех или иных наших действий в расчетах. Можно было бы подробно разобрать, на каком этапе вносятся ошибки в моделирование, как они исправляются и почему такие исправления работают или не работают. Это отдельная тема и она требует открытости восприятия критики, к чему, я боюсь, Вы не готовы.

[pupsik]

Alex-Yu в сообщении #650866 писал(а):

В КЭД вакуум один и тот же, как ни устраивай перенормировку

Просьба пояснить это. Как я понимаю, в определение вакуума входит понятие положительно-частотных и отрицательно-частотных функций, а их определение зависит от массы частицы. Или я не прав?

[VladimirKalitvianski]

pupsik в сообщении #650988 писал(а):

Alex-Yu в сообщении #650866 писал(а):

В КЭД вакуум один и тот же, как ни устраивай перенормировку

Просьба пояснить это. Как я понимаю, в определение вакуума входит понятие положительно-частотных и отрицательно-частотных функций, а их определение зависит от массы частицы. Или я не прав?

Положительно- и отрицательно-частотные функции входят в определение (свободных) полей, а вакуум частиц не содержит, поэтому он как бы один. Но кванты поля ("частицы" или возбуждения над вакуумом), конечно, зависят от того, какое поле их возбуждает.

[pupsik]

VladimirKalitvianski в сообщении #650871 писал(а):

Есть книжка Ахиезера-Берестецкого "Квантовая Электродинамика" с этими обозначениями и объяснением про внешние линии

Читал я эту книжку, много у меня к ней претензий. То ли она реально очень "дырявая", то ли объясняется всё таким языком, что ничего не понятно, то ли я очень тупой. Вот, например, на странице 177 в п. 3.5.4 "Функции Грина как вакуумные средние" используются такие выражения, как $(\Phi_0,T\{A_{\mu}(x)A_{\nu}(y)\}\Phi_0)$, где $A(x)$ - оператор поля в гейзенберговском представлении. Но ведь эта вещь при $x^0=y^0$ совпадает с таковой для свободных полей, а при $x^0\neq y^0$ - не совпадает (легко проверить дифференцированием по времени на совпадающих временах), т.е., эта штука не обладает релятивистской инвариантностью и вряд ли может иметь какой-то физический смысл. Или там вакуум какой-то другой используется? И это далеко не единственный подобный ляп/непонятность в этой книжке. И это к большому сожалению, потому что идеи там очень интересные. То же относится к ЛЛ-4.

-- 28.11.2012, 18:26 --

VladimirKalitvianski в сообщении #650995 писал(а):

Положительно- и отрицательно-частотные функции входят в определение (свободных) полей, а вакуум частиц не содержит, поэтому он как бы один

Но ведь вакуум должен обладать свойством, что применение к нему операторов уничтожения частиц даёт 0?

[Alex-Yu]

pupsik в сообщении #651005 писал(а):

Читал я эту книжку, много у меня к ней претензий. То ли она реально очень "дырявая", то ли объясняется всё таким языком, что ничего не понятно, то ли я очень тупой.

Если бы Вы знали сколько я в молодости мучился с этой книжкой... Ну что Вы хотите, она была написана тогда, когда КЭД еще только-только появилась. Тут никакая гениальность авторов не поможет. И якобы тупость читателя ни при чем. А вообще возмите для начала Зи "Квантовая теория поля в двух словах". Она весьма специфически написана и в ней все изложение основано (в современном стиле) на континуальном интегрировании, а не на операторах. Так что может полезно сначала Фейнмана-Хибса почитать, чтобы познакомиться, как появляются континуальные интегралы в КМ, а не в КТП. Зи ни в коем случае не заменит "настоящего" изложения теории, но в качестве предварительного чтения -- просто блеск!

На счет одного и того же вакуума при разном определении свободного лагранжиана (пожалуй правильней сказать "эффективного свободного") я, пожалуй, погорячился. Нулевые колебания видимо будут разные. Но кто ж ими интересуется, нулевыми колебаниями Во всяком случае если не брать экзотику типа эффекта Казимира.

-- Ср ноя 28, 2012 21:49:42 --

pupsik в сообщении #651005 писал(а):

эта штука не обладает релятивистской инвариантностью и вряд ли может иметь какой-то физический смысл

Обладает, тут у Вас ошибка. Но не инвариантностью, а ковариантностью. В конце-концов это тензор. Но тут есть другой интересный вопрос. Как расставлять множители когда времена разные -- это понятно. А как когда одинаковые? Т-произведение об этом ничего не говорит. Но на самом деле это просто несущественно. В точности при одинаковых временах ничего померить нельзя.

[VladimirKalitvianski]

pupsik в сообщении #651005 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #650871 писал(а):

Есть книжка Ахиезера-Берестецкого "Квантовая Электродинамика" с этими обозначениями и объяснением про внешние линии

Читал я эту книжку, много у меня к ней претензий. То ли она реально очень "дырявая", то ли объясняется всё таким языком, что ничего не понятно, то ли я очень тупой. Вот, например, на странице 177 в п. 3.5.4 "Функции Грина как вакуумные средние" используются такие выражения, как $(\Phi_0,T\{A_{\mu}(x)A_{\nu}(y)\}\Phi_0)$, где $A(x)$ - оператор поля в гейзенберговском представлении. Но ведь эта вещь при $x^0=y^0$ совпадает с таковой для свободных полей, а при $x^0\neq y^0$ - не совпадает (легко проверить дифференцированием по времени на совпадающих временах), т.е., эта штука не обладает релятивистской инвариантностью и вряд ли может иметь какой-то физический смысл. Или там вакуум какой-то другой используется? И это далеко не единственный подобный ляп/непонятность в этой книжке. И это к большому сожалению, потому что идеи там очень интересные. То же относится к ЛЛ-4.
-- 28.11.2012, 18:26 --

VladimirKalitvianski в сообщении #650995 писал(а):

Положительно- и отрицательно-частотные функции входят в определение (свободных) полей, а вакуум частиц не содержит, поэтому он как бы один

Но ведь вакуум должен обладать свойством, что применение к нему операторов уничтожения частиц даёт 0?

Точные функции Грина не обязаны совпадать со свободными функциями Грина (смотрите на эти формулы, как на определения или формальные построения; можно доказать, что они подчиняются уравнениям для точных функций Грина) . Точные строятся из точных операторов поля (предполагается, конечно, что они существуют) и относятся к несвободным (связанным) уравнениям. Решая точные уравнения по теории возмущений, мы начинаем со свободных полей и свободных функций Грина и потом получаем к ним поправки. На счет релятивистской инвариантности (а точнее - ковариантности) там порядок, чего не скажешь об их калибровочной инвариантности. Но эти вопросы позже тоже рассмотрены, просто наберитесь терпения.

Вакуум не содержит частиц и действие оператора уничтожения дает ноль в самом деле. Другое дело, что перенормированный оператор поля и неперенормированный, кажется, содержат разные массы, но мы уходим от неперенормированных. Перенормированные точные уравнения содержат иное "взаимодействие" (с контрчленами), а масса там старая, физическая. Поэтому и нулевое приближение для точного (перенормированного) оператора, и сам точный оператор поля содержат лишь физическую массу.

[pupsik]

Alex-Yu в сообщении #651017 писал(а):

Обладает, тут у Вас ошибка. Но не инвариантностью, а ковариантностью. В конце-концов это тензор.

Вот это просьба пояснить. Нет, ясное дело, что для каждых конкретных $x$ и $y$ это тензор, но почему это должно быть ковариантно вообще, мне непонятно. Насколько я помню, операторы в гейзенберговском представлении задаются уравнениями и перестановочными соотношениями в один момент времени. Для операторов свободных полей можно немного потрудившись доказать, что и перестановочные соотношения, и спаривания будут ковариантны, а вот для гейзенберговских полей - хрен. Чтобы они были ковариантны, они должны совпадать с таковыми для свободных, а они к великому прискорбию не будут совпадать (проще всего это проверить, предположив, что они совпадают для всех операторов, в том числе $\psi$, и получить противоречие с уравнениями движения).

[Alex-Yu]

pupsik в сообщении #651048 писал(а):

Чтобы они были ковариантны, они должны совпадать с таковыми для свободных,

Совпадение со свободными достаточно, но не необходимо и на самом деле такого совпадения нет. Так, думаю. В принципе это проблема релятивисткой инвариантности S-матрицы. Что целая наука, не сводящаяся к одному простенькому словестному "выкрутасу". В принципе, на уровне теории возмущений (ТВ) и диаграмм вся теория по самому своему построению релятивистки ковариантна (за это и была "битва" в конце 40-х начале 50-х, решена проблема была Фейнманом и Дайсоном). Без ТВ абсолютно очевидна релятивисткая инвариантность в формулировке через континуальные интегралы. Плата за это -- неочевидность унитарности теории. В операторной (канонической) формулировке наоборот: унитарность очевидна, зато релятивисткая инвариантность неочевидна (в каноническом формализме время выделенно уже в классике). А чтобы все сразу, такого еще никто не сумел придумать. В конце-концов КТП не на столько простая наука, чтобы все в ней сразу было очевидно!

А если хотите чтобы все было в математическом стиле строго последовательно и доказательно, обратитесь к так называемой аксиоматической теории поля. Есть книжка Боголюбова, Логунова и еще кого-то. Вот эта теория в математическом стиле. Но при этом она абсолютно бесполезна, ничего реального физического по ней посчитать нельзя.