Независимые остатки

[main.c]

$P = \{11, 23\}. X = <2, 3>.$ Найти целые числа $a = <1, 0>, b = <0, 1>, x_1, x_2$, такие, что $X = x_1a + x_2b$, a $X$ - наименьшее из возможных чисел.
Всем доброго времени суток, не знаю как решить эту задачу, просьба подсказать как это решается.

[main.c]

$P$ - это система счисления в остатках, например число 149 в ней будет выглядеть как$<149 \mod 11, 149 \mod 23> = <6, 11>$

[Sonic86]

Короче, это просто переформулировка китайской теоремы об остатках.
Блин, не, тут даже вопроса нет. Присмотритесь повнимателеьнее + включите формальный преобразователь.

main.c в сообщении #649226 писал(а):

Найти целые числа $a = <1, 0>, b = <0, 1>, x_1, x_2$

Наверное, Вы хотели написать, что $a=(1,0), b=(0,1)$ и Вам надо найти $x_1,x_2$ такие что ... Если да, то просто представьте $x_1a+x_2b$ и виде пары и приравняйте данному значению $X$.

[main.c]

Так в том то и дело, что я не знаю, как это делается.

[Sonic86]

main.c в сообщении #649308 писал(а):

Так в том то и дело, что я не знаю, как это делается.

Как делается подстановка, знают все, в т.ч. и Вы.
Вы берете

main.c в сообщении #649226 писал(а):

$X = x_1a + x_2b$

и подставляете

main.c в сообщении #649226 писал(а):

$X = <2, 3>.$

и

main.c в сообщении #649226 писал(а):

$a = <1, 0>, b = <0, 1>$

Все.
Либо имеют место какие-то косяки с формулировкой задания.

[main.c]

Как я понял, $X = x_1a + x_2b$ равносильно $(2,3) = (1,0)(x_1 \mod 11, x_1 \mod 23) + (0,1)(x_2 \mod 11, x_2 \mod 23) = (x_1 \mod 11, 0) + (0, x_2 \mod 23) = (x_1 \mod 11, x_2 \mod 23)$

$$ \left\{ \begin{aligned} 2 = x_1 \mod 11\\ 3 = x_2 \mod 23\\ \end{aligned} \right. $$

Вы это имели ввиду?

[Sonic86]

main.c в сообщении #649336 писал(а):

Вы это имели ввиду?

Да, только мне непонятно, почему Вы вместо $x_1$ берете $(x_1,x_1)$. Просто $x_1\cdot (1,0)=(x_1,0)$.
И все - вот Вам и $x_1,x_2$.
Только если Вы правильно сформулировали задачу

[main.c]

Задание абсолютно верное. Как я понял, мне нужно представить все 5 чисел в виде обычных целых чисел. Как например от $(0,1)$ перейти к обычному числу? Да и ещё, где я вместо $x_1$ беру $ (x_1, x_2)$?

[Sonic86]

main.c в сообщении #649361 писал(а):

где я вместо $x_1$ беру $ (x_1, x_2)$?

Не $(x_1,x_2)$, а $(x_1,x_1)$. Вот:

main.c в сообщении #649336 писал(а):

$(2,3) = (1,0)(x_1 \mod 11, x_1 \mod 23) + (0,1)(x_2 \mod 11, x_2 \mod 23)$

main.c в сообщении #649361 писал(а):

Как я понял, мне нужно представить все 5 чисел в виде обычных целых чисел.

Если мы знаем у целого числа $x$ остаток от деления $r=x\bmod m$ на $m$, то восстановить число $x$ мы не можем. Остаток $r$ имеют числа $r,r+m,r+2m,...$. Обычно берут в качестве искомых чисел именно остаток от деления $x$ на $m$.

main.c в сообщении #649361 писал(а):

Как например от $(0,1)$ перейти к обычному числу?

У Вас $(0,1)$ - это просто $(0,1)$. От него нельзя перейти к числу. Можно сделать лишь следующее: задать число $a$ условиями: $a\equiv 0\pmod{11}, a\equiv 1\pmod{23}, 0\leqslant a<11\cdot 23$, тогда его можно найти.

Кстати, это я все могу сказать, просто потому, что сам нечто подобное делал. Если бы не делал, мне бы Ваш текст был абсолютно непонятен. Просьба формулировать полно.

[main.c]

И как мне найти это число, если к нему применить условия, которые вы указали?
Да и мне чуточку не ясно, почему мы можем просто взять и умножить число не представленное в виде остатков на число представленное в виде остатков, именно поэтому я написал, что $x_1 = (x_1 \mod 11, x_1 \mod 23)$, аналогично с числом $x_2$, подставил эти представления в уравнение и получил, то что получил выше.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #649369 писал(а):

$a\equiv 0\pmod{11}, a\equiv 1\pmod{23}, 0\leqslant a<11\cdot 23$,

$a=11t$, $11t\equiv 1\pmod{23}$ - остается решить это сравнение. В общем случае решается алгоритмом Евклида. Здесь ответ очевиден: $t\equiv -2\pmod{23}$. Вычисляете $a$ и считаете $a\mod{11\cdot 23}$.

[main.c]

Sonic86 в сообщении #649350 писал(а):

Просто $x_1\cdot (1,0)=(x_1,0)$.

Разве можно так умножать?