Расстояние до замкнутого множества

[Sul]

Наверняка простая задача, но не могу до конца довести доказательство того, что функция расстояния до замкнутого множества на прямой является непрерывной. Рассмотрел случаи, когда аргумент принадлежит внутренности множества - тогда все просто, т.к. есть окрестность, лежащая в множестве, а значит в ней функция равна нулю, а значит и непрерывна. Так же доказал непрерывность в случае, когда аргумент принадлежит внешности множества - в этом случае он находится между двумя граничными точками, и функция опять-таки получается непрерывной.
А вот когда аргумент - граничная точка, то что делать? Ясно, что раз множество замкнуто, то расстояние в этой точке равно нулю, не могу понять только как доказать, что в этой точке функция непрерывна....

[xmaister]

Доказывайте по определению, придёте к успеху, метрика непрерывна.

[Sul]

Можно ли в этом частном случае обойтись без вывода свойств метрики? Пожалуй еще один случай прост: если граничная точка является изолированной, тогда найдется хорошая окрестность, в которой расстояние до множества будет лишь расстоянием до этой самой точки. Остался лишь случай, когда точка предельная...

[ewert]

Sul в сообщении #646031 писал(а):

но не могу до конца довести доказательство того, что функция расстояния до замкнутого множества на прямой является непрерывной.

Функция расстояния от точки до множества вообще всегда является непрерывной функцией точки -- независимо от того, что за множество и в каком вообще метрическом пространстве всё происходит. Это довольно автоматически следует непосредственно из аксиом метрики.

Sul в сообщении #646082 писал(а):

Можно ли в этом частном случае обойтись без вывода свойств метрики?

Под "свойствами" имелись в виду, надо полагать, аксиомы (никакой другой фантазии в голову не приходит). Тогда не только можно, но и нужно: аксиомы -- они, знаете ли, не выводятся.

[Sul]

Я ввожу функцию расстояния до множества не аксиоматически, а как точную нижнюю грань модуля разности между аргументом и элементами множества. И все свойства доказываю исходя из этого определения. Поэтому, если уж пользоваться аксиомами метрики, надо еще доказать, что эта функция и есть метрика, то есть, как бы это ни звучало, вывести эти самые аксиомы. А мне хотелось бы без них, ведь остался один простой случай...

[ewert]

Sul в сообщении #646123 писал(а):

Поэтому, если уж пользоваться аксиомами метрики, надо еще доказать, что эта функция и есть метрика,

Это никому не надо, поскольку это даже не то что неверно, а просто бессмысленно: метрика есть функция на парах точек одного и того же пространства, точка же и подмножество заведомо такую пару не образуют.

Формальное определение расстояния от точки до множества у Вас правильное. Вот и доказывайте нужное утверждение, исходя из аксиоматики расстояний исключительно между точками.

[Sul]

Кажется, справился: для точки из множества возьмем дельта равное эпсилон, тогда расстояние от любой точки из окрестности до множества не больше, чем от нее же до нашей центральной точки, и как раз меньше дельта.