2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расстояние до замкнутого множества
Сообщение18.11.2012, 17:40 


18/11/12
77
Наверняка простая задача, но не могу до конца довести доказательство того, что функция расстояния до замкнутого множества на прямой является непрерывной. Рассмотрел случаи, когда аргумент принадлежит внутренности множества - тогда все просто, т.к. есть окрестность, лежащая в множестве, а значит в ней функция равна нулю, а значит и непрерывна. Так же доказал непрерывность в случае, когда аргумент принадлежит внешности множества - в этом случае он находится между двумя граничными точками, и функция опять-таки получается непрерывной.
А вот когда аргумент - граничная точка, то что делать? Ясно, что раз множество замкнуто, то расстояние в этой точке равно нулю, не могу понять только как доказать, что в этой точке функция непрерывна....

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние до замкнутого множества
Сообщение18.11.2012, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Доказывайте по определению, придёте к успеху, метрика непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние до замкнутого множества
Сообщение18.11.2012, 18:58 


18/11/12
77
Можно ли в этом частном случае обойтись без вывода свойств метрики? Пожалуй еще один случай прост: если граничная точка является изолированной, тогда найдется хорошая окрестность, в которой расстояние до множества будет лишь расстоянием до этой самой точки. Остался лишь случай, когда точка предельная...

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние до замкнутого множества
Сообщение18.11.2012, 19:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sul в сообщении #646031 писал(а):
но не могу до конца довести доказательство того, что функция расстояния до замкнутого множества на прямой является непрерывной.

Функция расстояния от точки до множества вообще всегда является непрерывной функцией точки -- независимо от того, что за множество и в каком вообще метрическом пространстве всё происходит. Это довольно автоматически следует непосредственно из аксиом метрики.

Sul в сообщении #646082 писал(а):
Можно ли в этом частном случае обойтись без вывода свойств метрики?

Под "свойствами" имелись в виду, надо полагать, аксиомы (никакой другой фантазии в голову не приходит). Тогда не только можно, но и нужно: аксиомы -- они, знаете ли, не выводятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние до замкнутого множества
Сообщение18.11.2012, 19:47 


18/11/12
77
Я ввожу функцию расстояния до множества не аксиоматически, а как точную нижнюю грань модуля разности между аргументом и элементами множества. И все свойства доказываю исходя из этого определения. Поэтому, если уж пользоваться аксиомами метрики, надо еще доказать, что эта функция и есть метрика, то есть, как бы это ни звучало, вывести эти самые аксиомы. А мне хотелось бы без них, ведь остался один простой случай...

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние до замкнутого множества
Сообщение18.11.2012, 20:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sul в сообщении #646123 писал(а):
Поэтому, если уж пользоваться аксиомами метрики, надо еще доказать, что эта функция и есть метрика,

Это никому не надо, поскольку это даже не то что неверно, а просто бессмысленно: метрика есть функция на парах точек одного и того же пространства, точка же и подмножество заведомо такую пару не образуют.

Формальное определение расстояния от точки до множества у Вас правильное. Вот и доказывайте нужное утверждение, исходя из аксиоматики расстояний исключительно между точками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние до замкнутого множества
Сообщение20.11.2012, 08:25 


18/11/12
77
Кажется, справился: для точки из множества возьмем дельта равное эпсилон, тогда расстояние от любой точки из окрестности до множества не больше, чем от нее же до нашей центральной точки, и как раз меньше дельта.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group