2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 20:48 
Аватара пользователя
Помогите, пожалуйста, разобраться.


$P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nP_n(x_k)l_{nk}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;l_{nk}(x) = { \prod_{i=0,\,i \ne k}^n {(x - x_i) \over  (x_k- x_i)}}$


Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$


Есть предположение выбрать какие-нибудь точки на $[a,b]$ такие, что $x_o\leqslant x_1.....\leqslant x_m$

А что делать дальше?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 21:20 
Аватара пользователя
Что происходит при увеличении $n$? Добавляются точки интерполяции? Произвольно? Почему степень многочленов ограничена сверху? Может Вы словами поясните условие, а то из формул ничего не понятно?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 21:29 
Аватара пользователя
Думаю, что часть со слова "Доказать" имеет самостоятельную ценность. А всё остальное - просто так, для красоты.

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 21:54 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #644220 писал(а):
Думаю, что часть со слова "Доказать" имеет самостоятельную ценность. А всё остальное - просто так, для красоты.


ДА, остальное, чтобы понять - о чем разговор=)

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение13.11.2012, 22:35 
Аватара пользователя
А как же теорема Вейерштрасса?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 08:00 
Аватара пользователя
freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):
Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$
Степень многочленов в последовательности неограниченно растет или не превосходит $m$?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 12:53 
ИСН в сообщении #644220 писал(а):
А всё остальное - просто так, для красоты.
Причём красоты не нужной и только отвлекающей в данном случае. Утверждение
freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):
если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$
есть просто частный случай довольно очевидного более общего утверждения, на которое и следует сослаться.

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:18 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #644415 писал(а):
Утверждение
freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):
если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$
есть просто частный случай довольно очевидного более общего утверждения, на которое и следует сослаться.
Что утверждается в этом утверждении?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:21 
Полагаю, что $m$ в этом утверждении фиксировано.

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:25 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #644424 писал(а):
Полагаю, что $m$ в этом утверждении фиксировано.
Утверждение какое?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:27 
Вы про то, более общее, утверждение спрашиваете?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:29 
Аватара пользователя
Цитата:
Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$

Вот здесь что именно надо доказать?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:43 
Что предельная функция $f$ является многочленом степени не выше $m$.

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:45 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #644433 писал(а):
Что предельная функция $f$ является многочленом степени не выше $m$.

Все утверждение можете расшифровать? Предельная функция является многочленом степени не выше $m$, когда выполняется что?

 
 
 
 Re: Интерполяционная форумула лагранжа, док-во
Сообщение14.11.2012, 13:54 
Фиксируем отрезок $[a,b]$ и натуральное $m$. Пусть $P_n(x)$, $n=1,2,\dots$, --- последовательность многочленов, степень каждого из которых не превосходит $m$. Предположим, что $P_n(x)$ равномерно сходится к некоторой функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ при $n \to \infty$. Требуется доказать, что функция $f(x)$ является многочленом степени не выше $m$.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group