Интерполяционная форумула лагранжа, док-во

[freedom_of_heart]

Помогите, пожалуйста, разобраться.


$P_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nP_n(x_k)l_{nk}(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;l_{nk}(x) = { \prod_{i=0,\,i \ne k}^n {(x - x_i) \over (x_k- x_i)}}$


Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$


Есть предположение выбрать какие-нибудь точки на $[a,b]$ такие, что $x_o\leqslant x_1.....\leqslant x_m$

А что делать дальше?

[мат-ламер]

Что происходит при увеличении $n$? Добавляются точки интерполяции? Произвольно? Почему степень многочленов ограничена сверху? Может Вы словами поясните условие, а то из формул ничего не понятно?

[ИСН]

Думаю, что часть со слова "Доказать" имеет самостоятельную ценность. А всё остальное - просто так, для красоты.

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #644220 писал(а):

Думаю, что часть со слова "Доказать" имеет самостоятельную ценность. А всё остальное - просто так, для красоты.

ДА, остальное, чтобы понять - о чем разговор=)

[SpBTimes]

А как же теорема Вейерштрасса?

[TOTAL]

freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):

Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$

Степень многочленов в последовательности неограниченно растет или не превосходит $m$?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #644220 писал(а):

А всё остальное - просто так, для красоты.

Причём красоты не нужной и только отвлекающей в данном случае. Утверждение

freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):

если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$

есть просто частный случай довольно очевидного более общего утверждения, на которое и следует сослаться.

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #644415 писал(а):

Утверждение

freedom_of_heart в сообщении #644187 писал(а):

если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$

есть просто частный случай довольно очевидного более общего утверждения, на которое и следует сослаться.

Что утверждается в этом утверждении?

[nnosipov]

Полагаю, что $m$ в этом утверждении фиксировано.

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #644424 писал(а):

Полагаю, что $m$ в этом утверждении фиксировано.

Утверждение какое?

[nnosipov]

Вы про то, более общее, утверждение спрашиваете?

[TOTAL]

Цитата:

Доказать, что если $\Big\{P_n\Big\}_{n=1}^\infty}$ - последовательность многочленов степени $\leqslant m$, равномерно сходящаяся к функции $f$ на $[a;b]$, то $f$ - многочлен степени $\leqslant m$

Вот здесь что именно надо доказать?

[nnosipov]

Что предельная функция $f$ является многочленом степени не выше $m$.

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #644433 писал(а):

Что предельная функция $f$ является многочленом степени не выше $m$.

Все утверждение можете расшифровать? Предельная функция является многочленом степени не выше $m$, когда выполняется что?

[nnosipov]

Фиксируем отрезок $[a,b]$ и натуральное $m$. Пусть $P_n(x)$, $n=1,2,\dots$, --- последовательность многочленов, степень каждого из которых не превосходит $m$. Предположим, что $P_n(x)$ равномерно сходится к некоторой функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ при $n \to \infty$. Требуется доказать, что функция $f(x)$ является многочленом степени не выше $m$.