Количество натуральных чисел

[dydx]

migmit в сообщении #641982 писал(а):

То есть, просто слово длины не более $N$? Тогда вообще любое слово "осуществимо", достаточно взять $N$ равным его длине.

$N$ нельзя менять от слова к слову. Оно задано сразу для всех слов. Поэтому все слова сразу осуществимыми быть не могут.

-- 09.11.2012, 11:45 --

dydx в сообщении #641950 писал(а):

3. Для любого натурального числа $n$, если терм $n'$ осуществим, то $n'\neq 0$.

Забыл добавить, при условии, что формула $n'\neq 0$ осуществима.

dydx в сообщении #641950 писал(а):

4. Для любых натуральных чисел $n$ и $m$, если термы $n'$ и $m'$ осуществимы, то из $n'=m'$ cледует, что $n=m$.

Аналогичные условия надо и здесь добавить.

[epros]

dydx в сообщении #641973 писал(а):

А я не хочу принимать эту абстракцию. Я не верю, что очень большие числа осуществимы. Я хочу узнать насколько сложную математику можно построить без этой абстракции.

Мысль интересная и, наверное, не Вам первому она пришла в голову. Однако ж пока, вроде, ни к чему достаточно продуктивному она не привела. Наверное потому, что непротиворечивое определение понятия "осуществимости" - штука довольно сложная.

dydx в сообщении #641973 писал(а):

У нас пока еще нету знаков умножения, сложения и т.д...

Теория без знаков сложения и умножения - весьма бедная. Большинство известных арифметических теорем в ней невыразимы.

dydx в сообщении #641973 писал(а):

Ну хорошо, замените везде у меня $n'$ на $S(n)$.

Это не решит всех проблем. Да, для любого терма $n$ строка $S(n)$ тоже будет термом. И в смысле арифметики это будет именно "следующее число". Однако с "осуществимостью" при наличии знаков сложения и умножения определённо возникнут проблемы. Наример, используя знак умножения, число 12 можно выразить строкой из 24-х символов (включая скобки). Но я не знаю, как выразить число 11 строкой меньше, чем в 34 символа. Получается, что если $N = 25$, то число 12 нельзя считать "осуществимым", ибо у него нет "осуществимого" предшественника?

Непонятно, к чему все эти навороты?

[dydx]

Идем дальше. Вводим функциональные символы: $+$ и $\cdot$.
0. Для любых натуральных чисел $n$ и $m$, если терм $n+m$ (соответственно, $n \cdot m$) осуществим, то $n+m$ (соответственно, $n \cdot m$) - натуральное число.
1. Для любого натурального числа $n$, $n+0=n$, если эта формула осуществима.
2. Для любых натуральных чисел $n$ и $m$, $n+S(m)=S(n+m)$, если эта формула осуществима.
3. Для любого натурального числа $n$, $n\cdot 0=0$, если эта формула осуществима.
4. Для любых натуральных чисел $n$ и $m$, $n\cdot S(m)=n+(n \cdot m)$, если эта формула осуществима.

-- 09.11.2012, 12:15 --

epros в сообщении #641991 писал(а):

Получается, что если $N = 25$, то число 12 нельзя считать "осуществимым", ибо у него нет "осуществимого" предшественника?

Почему это нельзя? Откуда следует, что у каждого натурального числа (кроме нуля) должен быть предшественник?

-- 09.11.2012, 12:18 --

epros в сообщении #641991 писал(а):

Непонятно, к чему все эти навороты?

А как иначе? Да и потом, сами рассудите, это же естественно. Взять те же компьютеры. У каждого из них есть свое такое вот глобальное $N$. А никаких машин Тьюринга с бесконечной лентой в реальности не наблюдается.

[epros]

dydx в сообщении #641993 писал(а):

Почему это нельзя? Откуда следует, что у каждого натурального числа (кроме нуля) должен быть предшественник?

А как иначе без Ваших дополнительных аксиом доказать, что число 12 осуществимо? Только с помощью этой аксиомы:

dydx в сообщении #641950 писал(а):

2. Для любого натурального числа $n$, если терм $n'$ осуществим, то $n'$ - натуральное число.

А для этого потребуется осуществимость числа 11.

dydx в сообщении #641993 писал(а):

А как иначе?

Не знаю. И не уверен, что Ваши "новые" аксиомы когда-нибудь закончатся и при этом не приведут к противоречиям. Я же говорю, что "осуществимость" - совсем не простая штука. Осуществимо ли число $10^{10^{10}}$? Я чувствую, что для определения этого Вам придётся вводить новые аксиомы для возведения в степень. А дальше что? Аксиомы для гипероператора? Чтобы понять, осуществимо ли $10 \uparrow^{10} 10$?

Или вот ещё какой вопрос: Если существует максимальное совершенное число (а это - нерешённый вопрос), то осуществимо ли оно? Какими аксиомами Вы собираетесь определять осуществимость чисел, определяемых подобными способами?

[dydx]

epros в сообщении #641991 писал(а):

Но я не знаю, как выразить число 11 строкой меньше, чем в 34 символа

А я знаю. $2\cdot5+1$, т.е. $S(S(S(0)) \cdot S(S(S(S(S(0))))))$ (27 символов).

-- 09.11.2012, 12:48 --

epros в сообщении #642009 писал(а):

А как иначе без Ваших дополнительных аксиом доказать, что число 12 осуществимо?

А без дополнительных аксиом оно не осуществимо. Очевидно же. Пока не ввели дополнительные аксиомы - не осуществимо. Как только ввели - уже осуществимо. Прекрасно же. Не вижу никаких противоречий.

[epros]

dydx в сообщении #642012 писал(а):

А я знаю. $2\cdot5+1$, т.е. $S(S(S(0)) \cdot S(S(S(S(S(0))))))$ (27 символов).

ОК, подловили. Но в 25 символов всё же не уложится.

dydx в сообщении #642012 писал(а):

А без дополнительных аксиом оно не осуществимо. Очевидно же. Пока не ввели дополнительные аксиомы - не осуществимо. Как только ввели - уже осуществимо. Прекрасно же. Не вижу никаких противоречий.

И когда эти дополнительные аксиомы должны закончиться?

[dydx]

dydx в сообщении #642012 писал(а):

А без дополнительных аксиом оно не осуществимо. Очевидно же. Пока не ввели дополнительные аксиомы - не осуществимо. Как только ввели - уже осуществимо. Прекрасно же. Не вижу никаких противоречий.

Ерунду сказал. Не так. Я никогда не употреблял термин "осуществимый" по отношению к числам. Мы их не делим на два класса. Поэтому правильнее так:
А без дополнительных аксиом оно не существует. Очевидно же. Пока не ввели дополнительные аксиомы - не существует. Как только ввели - уже существует. Прекрасно же. Не вижу никаких противоречий.

[epros]

dydx в сообщении #642027 писал(а):

Мы их не делим на два класса.

Ещё как делите. На уровне метатеории Вы пользуетесь обычными натуральными числами, выбирая из них некое N, а на уровне прикладной теории уже как-то пытаетесь ограничить это понятие как раз посредством определения "осуществимости".

[dydx]

epros в сообщении #642009 писал(а):

Не знаю. И не уверен, что Ваши "новые" аксиомы когда-нибудь закончатся и при этом не приведут к противоречиям.

Нетрудно ввести понятие осуществимого ряда аксиом. И в дальнейшем рассматривать только те теории, аксиоматика которых осуществима.

epros в сообщении #642009 писал(а):

Осуществимо ли число $10^{10^{10}}$?

Зависит от $N$ и аксиоматики, т.е. от конкретной теории, по отношению к которой задается этот вопрос.

epros в сообщении #642009 писал(а):

Я чувствую, что для определения этого Вам придётся вводить новые аксиомы для возведения в степень.

Возможно. Если $N$ недостаточно велико. Или ничего не делать и думать, что его просто не существует.

epros в сообщении #642009 писал(а):

А дальше что? Аксиомы для гипероператора? Чтобы понять, осуществимо ли $10 \uparrow^{10} 10$?

Зачем "чтобы понять"?

epros в сообщении #642009 писал(а):

Или вот ещё какой вопрос: Если существует максимальное совершенное число (а это - нерешённый вопрос), то осуществимо ли оно? Какими аксиомами Вы собираетесь определять осуществимость чисел, определяемых подобными способами?

Сначала определите, что такое "максимальное совершенное число".

[master]

для того что бы определиться с множеством чисел, нужно определить строите вы его или оно вам с неба на голову упало.

[dydx]

epros в сообщении #642030 писал(а):

На уровне метатеории Вы пользуетесь обычными натуральными числами, выбирая из них некое N, а на уровне прикладной теории уже как-то пытаетесь ограничить это понятие как раз посредством определения "осуществимости".

Так где я делю числа (прикладной теории) на два класса? Я так и не понял. И я же просил не смешивать натуральные числа в метатеории и прикладной теории. Поэтому не надо говорить "пытаетесь ограничить это понятие". Я бы могу с тем же успехом назвать объекты прикладной теории не натуральными числами, а абракадабрами.

[epros]

dydx в сообщении #642036 писал(а):

Нетрудно ввести понятие осуществимого ряда аксиом.

Продолжается генерация недоопределённых терминов?

dydx в сообщении #642036 писал(а):

Возможно.

Ну так определитесь: Будете вводить аксиомы для возведения в степень или нет? Без этого определение "осуществимых чисел" не закончено.

dydx в сообщении #642036 писал(а):

Зачем "чтобы понять"?

Вот я хочу знать: осуществимо ли число $10 \uparrow^{10} 10$? Выберите какое-нибудь N о попробуйте ответить, опираясь на Вашу аксиоматику.

dydx в сообщении #642036 писал(а):

Сначала определите, что такое "максимальное совершенное число".

Издеваетесь?

dydx в сообщении #642042 писал(а):

Так где я делю числа (прикладной теории) на два класса? Я так и не понял

Попробуйте в языке прикладной теории формализовать слова про "являтся осуществимым" и сразу увидите.

[dydx]

epros в сообщении #642045 писал(а):

Продолжается генерация недоопределённых терминов?

В чем проблема?

epros в сообщении #642045 писал(а):

Ну так определитесь: Будете вводить аксиомы для возведения в степень или нет?

Буду.

epros в сообщении #642045 писал(а):

Без этого определение "осуществимых чисел" не закончено.

Да нет никаких "осуществимых чисел". Я не знаю, что это такое.

epros в сообщении #642045 писал(а):

Вот я хочу знать: осуществимо ли число $10 \uparrow^{10} 10$? Выберите какое-нибудь N о попробуйте ответить, опираясь на Вашу аксиоматику.

Издеваетесь? Ну допустим я определил аксиомы для гипероператора и $N=10^{12}$. Тогда существует. Я не понимаю, что Вы хотите.

epros в сообщении #642045 писал(а):

:shock: Издеваетесь?

Я имел в виду в рамках изложенной здесь арифметики. Потому что если тупо слово в слово понимать, то получится, что ответ на вопрос о существовании максимального числа, удовлетворяющего некоторым свойствам, в рамках изложенной арифметики всегда положителен (если существует хотя бы одно число, удовлетворяющее этим свойствам).

epros в сообщении #642045 писал(а):

Попробуйте в языке прикладной теории формализовать слова про "являтся осуществимым" и сразу увидите.

Эти слова исчезнут, если под словом понимать только осуществимое слово, под термом понимать только осуществимый терм и т.д. Точно так же, как сейчас, например, под словом понимается конечное слово, под термом понимается конечный терм и т.д.

-- 09.11.2012, 15:13 --

А еще лучше так. Пусть мы располагаем вычислительной машиной с памятью. Она (память), естественно, ограничена. Пусть максимальное количество символов, которое можно записать в память этой вычислительной машины, равно $N$. Значит слова (и термы), длина которых больше $N$, просто напросто не существуют в рамках этой машины.

[epros]

dydx в сообщении #642050 писал(а):

В чем проблема?

Мы ещё не поняли какие числа осуществимы, а уже начинаем говорить об осуществимости каких-то аксиом.

dydx в сообщении #642050 писал(а):

Буду.

И про гипероператор? А про что ещё? Хотелось бы видеть конкретное множество аксиом, а не общие рассуждения о том, что "какие нужны аксиомы, такие и введём".

dydx в сообщении #642050 писал(а):

Да нет никаких "осуществимых чисел". Я не знаю, что это такое.

Вы их по ошибке именуете натуральными.

dydx в сообщении #642050 писал(а):

Эти слова исчезнут, если под словом понимать только осуществимое слово, под термом понимать только осуществимый терм и т.д.

Куда это исчезнут? У Вас эти слова употребляются при формулировке аксиом. А это значит, что Вам придётся перевести их на язык теории при формализации аксиоматики.

dydx в сообщении #642050 писал(а):

Точно так же, как сейчас, например, под словом понимается конечное слово, под термом понимается конечный терм и т.д.

Сейчас ни в одной из теорий арифметики натуральных чисел ни в одной аксиоме ничего про конечность не сказано.

[Someone]

epros в сообщении #642061 писал(а):

Сейчас ни в одной из теорий арифметики натуральных чисел ни в одной аксиоме ничего про конечность не сказано.

Да. Даются только рекурсивные правила образования слов. Из которых, конечно, в метатеории можно вывести, что слова имеют "конечную" длину. В том смысле, что длина слова равна некоторому натуральному числу. Беда только в том, что арифметика имеет нестандартные модели...
И вообще, мне где-то попадалось утверждение, что понятие конечности нельзя формализовать никаким набором аксиом.