Разбиение натуральных чисел

[Kid_Dynamite]

Всем привет!

Последовательности $[\alpha], [2\alpha], [3\alpha], \dots$ и $[\beta], [2\beta], [3\beta], \dots$ содержат в совокупности все натуральные числа, причем каждое число принадлежит только одной из них, тогда и только тогда, когда $\alpha>1$ и иррациональное и $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$

Достаточность тут я доказал.
А вот как доказать необходимость что-то не могу.
В книге Виноградова "Основы теории чисел" записано так:
Число значений $x$ с условием $[\alpha x]\leqslant N$ можно представить в виде $\frac{N}{\alpha}+\lambda$, где $0\leqslant \lambda <\frac{1}{\alpha}$, а число значений $y$ с условием $[\beta y]\leqslant N$ можно представить в виде $\frac{N}{\beta}+\lambda_1$, где $0\leqslant \lambda_1 <\frac{1}{\beta}$ и дальше переходят к пределу и все остальное понятно.
Но непонятно как он определил число значений $x$ и $y$, удовлетворяющие неравенствам?
Объясните пожалуйста.

[Sonic86]

Kid_Dynamite в сообщении #641739 писал(а):

Но непонятно как он определил число значений $x$ и $y$, удовлетворяющие неравенствам?

Он использовал соотношение $t-1\leqslant [t]\leqslant t$.
Если непонятно, посчитайте ручками число решений неравенств $[10x]\leqslant 47, [3x]\leqslant 10, [5x]\leqslant 34$. Просветление наступает очень быстро.

[Whitaker]

Он определяет сколько чисел вида $[\alpha x]$ и $[\beta y]$ есть среди первых $N$ натуральных чисел.
Неравенство $[\alpha x]\leqslant N$ равносильно $\alpha x<N+1$
Отсюда $x<\frac{N+1}{\alpha}$. Значит таких чисел всего $\left[\frac{N+1}{\alpha}\right]$
Для второго аналогичные рассуждения и дальше все понятно.

(Оффтоп)

Кажется, эта теорема Рэлея о спектре числа

[Sonic86]

(Оффтоп)

Whitaker, Вы вроде тоже эту задачу спрашивали? Ссылка не осталась? - может связать? А то поиск по формулам не работает :-( Или забить уж...

-- Чт ноя 08, 2012 17:32:26 --

Whitaker в сообщении #641781 писал(а):

Кажется, эта теорема Рэлея о спектре числа

Есть в Конкретной математике, кстати.

[Whitaker]

Sonic86
Я посмотрел в своих записях и убедился, что эту задачу я не спрашивал. Ее обсуждали здесь и я читал про эту задачу в этом номере журнала Квант.
А так теорема очень познавательная

[Sonic86]

(Оффтоп)

Whitaker в сообщении #641799 писал(а):

Я посмотрел в своих записях и убедился, что эту задачу я не спрашивал.

А, ну тогда извините