2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Пусть $X,Y$- топологические пространства. $U\subset X$- открытое и $f:U\to Y$. Положим, что $x_0\in U$. Как понимать предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 17:10 
Заслуженный участник


08/01/12
915
xmaister в сообщении #638277 писал(а):
Пусть $X,Y$- топологические пространства. $U\subset X$- открытое и $f:U\to Y$. Положим, что $x_0\in U$. Как понимать предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$?

Точка $y_0$ называется пределом функции $f$ при $x\to x_0$, если фильтр с базисом $f(B(x_0))$ мажорирует фильтр окрестностей точки $y_0$, где $B(x_0)$ — фильтр окрестностей точки $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 17:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
А если $X$ и $Y$- метризуемые с метриками $d_x$ И $d_y$ соответственно и, если мы положим, что $y_0$- предел функции $f$ при $x\to x_0$, т и т.т. $d_y(y_0,f(x))<\varepsilon$ для всякого $x\in B_\delta (x_0)$, т.е. аналог определения непрерывной на $\mathbb{R}$ функции. Будут ли такие пределеня эквивалентными в метрических пространствах?

(Оффтоп)

Я просто с фильтрами знаком только по наслышке, поэому что-то не соображу

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Можно сформулировать аналог обычного $\varepsilon$-$\delta$-определения.
Пусть $X$ - топологическое пространство, $D\subseteq X$. Точка $x\in X$ называется предельной точкой множества $D$, если для каждой окрестности $Ox\subseteq X$ точки $x$ выполняется $D\cap(Ox\setminus\{x\})\neq\varnothing$.
Пусть $f\colon D\to Y$ - отображение множества $D$ в топологическое пространство $Y$, $x_0\in X$ - предельная точка множества $D$. Точка $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$ при $x\to x_0$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f((Ox_0\setminus\{x_0\})\cap D)\subseteq Oy_0$.
Иногда в этом определении не вычитают точку $x_0$; если при этом ещё $x_0\in D$, то не нужно требовать, чтобы точка $x_0$ была предельной точкой множества $D$, и тогда получается определение непрерывности в точке $x_0$: отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

Добавление. Определение непрерывности здесь сформулировано неправильно. Уточнение смотрите ниже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 20:02 


10/02/11
6786
xmaister в сообщении #638277 писал(а):
Пусть $X,Y$- топологические пространства. $U\subset X$- открытое и $f:U\to Y$. Положим, что $x_0\in U$. Как понимать предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$?

Для любой направленности $x_\lambda\to x_0,\quad x_0\notin\{x_\lambda\}$ выполнено $f(x_\lambda)\to a$ (Это значит, что $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Someone в сообщении #638384 писал(а):
отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

В этом случае должно быть $y_0=f(x_0)$, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение31.10.2012, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
xmaister в сообщении #638439 писал(а):
В этом случае должно быть $y_0=f(x_0)$, разве нет?
Да, тут у меня некоторая неточность.
Someone в сообщении #638384 писал(а):
отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.
Здесь про точку $y_0$ ничего не сказано, а это по умолчанию предполагает квантор всеобщности для переменной $y_0$. Поэтому определение сформулировано некорректно. На самом деле я поленился набирать формулу, скопировал её из предыдущего определения и удалил лишнее, но забыл заменить $y_0$ на $f(x_0)$.
Если пространство $Y$ не хаусдорфово, то отображение $f$ может иметь много пределов при $x\to x_0$ в смысле первого определения (где точка $x_0$ вычитается из окрестности). Однако если $Y$ является $T_1$ пространством, то существует не более чем одна точка $y_0\in Y$, удовлетворяющая второму определению (где точка $x_0$ не вычитается из окрестности), и эта точка есть $f(x_0)$. Доказать, что никакая другая точка этому определению не удовлетворяет, очень легко: если $y_0\neq f(x_0)$, то возьмём $Oy_0=Y\setminus\{f(x_0)\}$.
Однако, если $Y$ не является $T_1$-пространством, то из существования точки $y_0\in Y$, удовлетворяющей этому определению, никакая непрерывность не следует. Возьмём $X=[0;1]$ - отрезок числовой прямой с обычной топологией, $Y=\{a,b\}$ - двухточечное множество ($a\neq b$) с топологией $\tau=\{\varnothing,\{a\},Y\}$ (связное двоеточие), а отображение $f$ определим так: $f(0)=a$, $f(x)=b$ при $x\in(0;1]$. Разумеется, $f$ не является непрерывным в точке $x_0=0$, но точка $y_0=b$ удовлетворяет второму определению.
Someone в сообщении #638384 писал(а):
Иногда в этом определении не вычитают точку $x_0$; если при этом ещё $x_0\in D$, то не нужно требовать, чтобы точка $x_0$ была предельной точкой множества $D$
Когда я это писал, я имел в виду следующее "альтернативное" определение предела: пусть $f\colon D\to Y$ - отображение множества $D$ в топологическое пространство $Y$, $x_0\in[D]_X$ (квадратные скобки обозначают замыкание множества); точка $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$ при $x\to x_0$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.
Если теперь в этом определении положить $y_0=f(x_0)$, то получим определение непрерывности отображения в заданной точке: отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Of(x_0)\subseteq Y$ точки $f(x_0)$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Of(x_0)$.
Как уже отмечалось выше, если $Y$ - $T_1$-пространство, $x_0\in D$, и точка $y_0\in Y$ удовлетворяет второму определению предела, то $y_0=f(x_0)$, и отображение $f$ непрерывно в точке $x_0$. Из первого определения ничего подобного не следует, и, более того, отображение в $T_1$-пространство может иметь много пределов при $x\to x_0$.

На самом деле оба определения являются частными случаями определения предела по фильтру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение01.11.2012, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Полнейшая путаница :facepalm: . Зачем вычитать точку $x_0$ из её окрестности $Ox_0$? Если $x_0$- предельная для $D$, то очевидно, что $Ox_0\cap D$ не пусто. Или это делается для того, чтобы при рассмотрении предельных точек не принадлижащих, быть может, множеству $D$ можно было определить предел отображения в этой точке? Положу, что $y_0$-предел отображения $f:D\to Y$ при $x\to x_0,x_0\in D$, если $f(Ox_0\cap D)\subset Oy_0,y_0\in Y$. В этом случае из существования предела в точке $x_0$ следует непрерывность в точке $x_0$ для всех топологических пространств. Если, $Y$- $T_1$, то, как Вы выше показали, $y_0=f(x_0)$. Получается, что второе определние (где $x_0$ не вычитается) сильнее первого, в том смысле что, если $y_0$- предел отображения $f:D\to Y, x\to x_0$ в смысле "определения 2", то $y_0$- предел в смысле "определения 1". Эквивалентны ли эти определния, если $X$ и $Y$- метризуемы? В смысле "определения 2" из непрерывности в точке $x_0$ следует, что $f(x_0)$- предел отображения $f:D\to Y,x\to x_0$, однако, если $Y$- не хаусдорфово, могут сущещствать $y\in Y$, которое будет являтся пределом $f$ при $x\to x_0$.
Someone в сообщении #638531 писал(а):
Если пространство не хаусдорфово, то отображение может иметь много пределов при в смысле первого определения (где точка вычитается из окрестности).

Это, как я понял, потому что $X$- хаусдорфово, тогда и только тогда, когда всякая направленность содержит не более одного предела.
Someone в сообщении #638531 писал(а):
Когда я это писал, я имел в виду следующее "альтернативное" определение предела: пусть - отображение множества в топологическое пространство , (квадратные скобки обозначают замыкание множества); точка называется пределом отображения при , если для каждой окрестности точки существует такая окрестность точки , что .

Не понял сути. Рассматриваем $D$- как пространство с индуцированной топологией. Хотелось сказать, что $[D]_X$ с тождественным вложением- какая-то компактификация $D$, но оно легко может быть не компактно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение01.11.2012, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
xmaister в сообщении #638688 писал(а):
В смысле "определения 2" из непрерывности в точке следует, что - предел отображения , однако, если - не хаусдорфово, могут сущещствать , которое будет являтся пределом при .

Очепятка, имелось в виду $Y$- не $T_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение01.11.2012, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
xmaister в сообщении #638688 писал(а):
Зачем вычитать точку $x_0$ из её окрестности $Ox_0$?
Ну, это стандартное определение предела в математическом анализе. Можно посмотреть, например, трёхтомник Г.М.Фихтенгольца (пункт 52). Или "Курс математического анализа" Л.Д.Кудрявцева (пункт 4.5). Замените только термин "интервал" термином "окрестность".
Дело, видимо, в том, что предел как самостоятельное понятие интересен в первую очередь в тех случаях, когда функция не является непрерывной.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):
Получается, что второе определние (где $x_0$ не вычитается) сильнее первого, в том смысле что, если $y_0$- предел отображения $f:D\to Y, x\to x_0$ в смысле "определения 2", то $y_0$- предел в смысле "определения 1".
Да. А наоборот - не обязательно.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):
Эквивалентны ли эти определния, если $X$ и $Y$- метризуемы?
Они не эквивалентны, даже если ограничиваться числовой прямой. Но оба определения в литературе встречаются.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):
Someone в сообщении #638531 писал(а):
Когда я это писал, я имел в виду следующее "альтернативное" определение предела: пусть $f\colon D\to Y$ - отображение множества $D$ в топологическое пространство $Y$, $x_0\in[D]_X$ (квадратные скобки обозначают замыкание множества); точка $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$ при $x\to x_0$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

Не понял сути. Рассматриваем $D$- как пространство с индуцированной топологией.
Нет, это не то. Точка $x_0$ ведь может и не принадлежать $D$.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):
Хотелось сказать, что $[D]_X$ с тождественным вложением- какая-то компактификация $D$, но оно легко может быть не компактно.
Конечно, компактификации тут ни при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение03.11.2012, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Вроде начинаю понимать, напишу:
Пусть $X,Y$- топологические пространства, $U\subset X$ и $f:U\to Y$, тогда, если $x_0\in U$, то $\lim\limits_{x\to x_0}=y_0\in Y$, если для всякой $U_{y_0}\subset Y$ существует $U_{x_0}$, такое что $f(U_{x_0}\cap U)\subset U_{y_0}$ (2). Это определение корректно, только если $x_0\in U$. Из существования предела в точке $x_0$ следует непрерывность в точке $x_0$. Как Вы уже говорили, если $Y-T_1$, то из существования предела следует его единственность. Если $Y$- не $T_1$, то предел может быть не единственный, действительно, пусть $X$- произвольное топологическое прстранство, не удовлетворяющее аксиоме $T_1$. Рассмотрим $\mathrm{id}:X\to X$ и положим, что $B_x=\{y|\forall U_x\ y\in U_x\}$. Предел $\lim\limits_{z\to x}\mathrm{id}$- существует для всех $x\in X$, причем ясно, что множество пределов, совпадает c $B_x$. Т.к $X$- не $T_1$, то сущетвует $x\in X$, такое что $|B_x|>1$.
Пусть также $X,Y$- топологические пространства и $U\subset X$. Положим, что $x_0\in U^{\mathrm{d}}$, $U^{\mathrm{d}}$- производное множество. Тогда $\lim\limits_{x\to x_0}=y_0\in Y$, если для всякой $U_{x_0}$ существует $U_{y_0}$, такая что $f(U_{x_0}\cap U\setminus\{x_0\})\subset U_{y_0}$ (1). Такое определение корректно только если $x_0\in U^d$. Ваш пример показывает, что из существования предела (1) не следует непрерывность.
Пусть далее $x_0\in U,x_0\in U^{\mathrm{d}}$."Определение 1" и "определение 2" не эквивалентны, если $f:U\to Y$ разрывна в точке $x_0$. Например $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, где $f(x)=0,x\ne 0,f(0)=2$. Пусть $f:U\to Y$- непрерывна в точке $x_0$ и $Y$- хаусдорфово, тогда определния (1) и (2) эквивалентны. Если $Y$ не хаусдорфово, то какой можно пример взять чтобы увидеть не эквиалентоность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение03.11.2012, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
xmaister в сообщении #639531 писал(а):
Пусть далее $x_0\in U,x_0\in U^{\mathrm{d}}$."Определение 1" и "определение 2" не эквивалентны, если $f:U\to Y$ разрывна в точке $x_0$. Например $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, где $f(x)=0,x\ne 0,f(0)=2$. Пусть $f:U\to Y$- непрерывна в точке $x_0$ и $Y$- хаусдорфово, тогда определния (1) и (2) эквивалентны. Если $Y$ не хаусдорфово, то какой можно пример взять чтобы увидеть не эквиалентоность?
Пусть $X=\mathbb R$ и $D=[0;1)$ с обычной топологией, $Y=\{0_1,0_2\}\cup(0;1)$, где $0_1$ и $0_2$ - различные элементы, не принадлежащие интервалу $(0;1)$. Базу топологии пространства $Y$ образуют интервалы $(a;b)\subseteq(0;1)$, а также множества видов $\{0_1\}\cup(0;b)$ и $\{0_2\}\cup(0;b)$, где $b\in(0;1)$. Отображение $f\colon D\to Y$ определим равенствами $f(x)=x$ при $x\in(0;1)$, $f(0)=0_1$. $Y$ является не хаусдорфовым $T_1$-пространством. Отображение $f$ имеет два различных предела при $x\to 0$ ($0_1$ и $0_2$) в смысле первого определения и только один ($0_1$) в смысле второго.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение03.11.2012, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
xmaister в сообщении #639531 писал(а):
Как Вы уже говорили, если $Y-T_1$, то из существования предела следует его единственность



нет, нужна хаусдорфовость, т.е. $T_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции в топологическом пространстве
Сообщение03.11.2012, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
alcoholist в сообщении #639648 писал(а):
xmaister в сообщении #639531 писал(а):
Как Вы уже говорили, если $Y-T_1$, то из существования предела следует его единственность



нет, нужна хаусдорфовость, т.е. $T_2$
Вы не обратили внимание, что там, вероятно, другое определение предела, чем Вы привыкли, и рассматривается случай, когда функция определена в той точке, в которой вычисляется предел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group