Предел функции в топологическом пространстве

[xmaister]

Пусть $X,Y$- топологические пространства. $U\subset X$- открытое и $f:U\to Y$. Положим, что $x_0\in U$. Как понимать предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$?

[apriv]

xmaister в сообщении #638277 писал(а):

Пусть $X,Y$- топологические пространства. $U\subset X$- открытое и $f:U\to Y$. Положим, что $x_0\in U$. Как понимать предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$?

Точка $y_0$ называется пределом функции $f$ при $x\to x_0$, если фильтр с базисом $f(B(x_0))$ мажорирует фильтр окрестностей точки $y_0$, где $B(x_0)$ — фильтр окрестностей точки $x_0$.

[xmaister]

А если $X$ и $Y$- метризуемые с метриками $d_x$ И $d_y$ соответственно и, если мы положим, что $y_0$- предел функции $f$ при $x\to x_0$, т и т.т. $d_y(y_0,f(x))<\varepsilon$ для всякого $x\in B_\delta (x_0)$, т.е. аналог определения непрерывной на $\mathbb{R}$ функции. Будут ли такие пределеня эквивалентными в метрических пространствах?

(Оффтоп)

Я просто с фильтрами знаком только по наслышке, поэому что-то не соображу

[Someone]

Можно сформулировать аналог обычного $\varepsilon$-$\delta$-определения.
Пусть $X$ - топологическое пространство, $D\subseteq X$. Точка $x\in X$ называется предельной точкой множества $D$, если для каждой окрестности $Ox\subseteq X$ точки $x$ выполняется $D\cap(Ox\setminus\{x\})\neq\varnothing$.
Пусть $f\colon D\to Y$ - отображение множества $D$ в топологическое пространство $Y$, $x_0\in X$ - предельная точка множества $D$. Точка $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$ при $x\to x_0$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f((Ox_0\setminus\{x_0\})\cap D)\subseteq Oy_0$.
Иногда в этом определении не вычитают точку $x_0$; если при этом ещё $x_0\in D$, то не нужно требовать, чтобы точка $x_0$ была предельной точкой множества $D$, и тогда получается определение непрерывности в точке $x_0$: отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

Добавление. Определение непрерывности здесь сформулировано неправильно. Уточнение смотрите ниже.

[Oleg Zubelevich]

xmaister в сообщении #638277 писал(а):

Пусть $X,Y$- топологические пространства. $U\subset X$- открытое и $f:U\to Y$. Положим, что $x_0\in U$. Как понимать предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$?

Для любой направленности $x_\lambda\to x_0,\quad x_0\notin\{x_\lambda\}$ выполнено $f(x_\lambda)\to a$ (Это значит, что $\lim_{x\to x_0}f(x)=a$)

[xmaister]

Someone в сообщении #638384 писал(а):

отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

В этом случае должно быть $y_0=f(x_0)$, разве нет?

[Someone]

xmaister в сообщении #638439 писал(а):

В этом случае должно быть $y_0=f(x_0)$, разве нет?

Да, тут у меня некоторая неточность.

Someone в сообщении #638384 писал(а):

отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

Здесь про точку $y_0$ ничего не сказано, а это по умолчанию предполагает квантор всеобщности для переменной $y_0$. Поэтому определение сформулировано некорректно. На самом деле я поленился набирать формулу, скопировал её из предыдущего определения и удалил лишнее, но забыл заменить $y_0$ на $f(x_0)$.
Если пространство $Y$ не хаусдорфово, то отображение $f$ может иметь много пределов при $x\to x_0$ в смысле первого определения (где точка $x_0$ вычитается из окрестности). Однако если $Y$ является $T_1$ пространством, то существует не более чем одна точка $y_0\in Y$, удовлетворяющая второму определению (где точка $x_0$ не вычитается из окрестности), и эта точка есть $f(x_0)$. Доказать, что никакая другая точка этому определению не удовлетворяет, очень легко: если $y_0\neq f(x_0)$, то возьмём $Oy_0=Y\setminus\{f(x_0)\}$.
Однако, если $Y$ не является $T_1$-пространством, то из существования точки $y_0\in Y$, удовлетворяющей этому определению, никакая непрерывность не следует. Возьмём $X=[0;1]$ - отрезок числовой прямой с обычной топологией, $Y=\{a,b\}$ - двухточечное множество ($a\neq b$) с топологией $\tau=\{\varnothing,\{a\},Y\}$ (связное двоеточие), а отображение $f$ определим так: $f(0)=a$, $f(x)=b$ при $x\in(0;1]$. Разумеется, $f$ не является непрерывным в точке $x_0=0$, но точка $y_0=b$ удовлетворяет второму определению.

Someone в сообщении #638384 писал(а):

Иногда в этом определении не вычитают точку $x_0$; если при этом ещё $x_0\in D$, то не нужно требовать, чтобы точка $x_0$ была предельной точкой множества $D$

Когда я это писал, я имел в виду следующее "альтернативное" определение предела: пусть $f\colon D\to Y$ - отображение множества $D$ в топологическое пространство $Y$, $x_0\in[D]_X$ (квадратные скобки обозначают замыкание множества); точка $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$ при $x\to x_0$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.
Если теперь в этом определении положить $y_0=f(x_0)$, то получим определение непрерывности отображения в заданной точке: отображение $f$ называется непрерывным в точке $x_0\in D$, если для каждой окрестности $Of(x_0)\subseteq Y$ точки $f(x_0)$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Of(x_0)$.
Как уже отмечалось выше, если $Y$ - $T_1$-пространство, $x_0\in D$, и точка $y_0\in Y$ удовлетворяет второму определению предела, то $y_0=f(x_0)$, и отображение $f$ непрерывно в точке $x_0$. Из первого определения ничего подобного не следует, и, более того, отображение в $T_1$-пространство может иметь много пределов при $x\to x_0$.

На самом деле оба определения являются частными случаями определения предела по фильтру.

[xmaister]

Полнейшая путаница . Зачем вычитать точку $x_0$ из её окрестности $Ox_0$? Если $x_0$- предельная для $D$, то очевидно, что $Ox_0\cap D$ не пусто. Или это делается для того, чтобы при рассмотрении предельных точек не принадлижащих, быть может, множеству $D$ можно было определить предел отображения в этой точке? Положу, что $y_0$-предел отображения $f:D\to Y$ при $x\to x_0,x_0\in D$, если $f(Ox_0\cap D)\subset Oy_0,y_0\in Y$. В этом случае из существования предела в точке $x_0$ следует непрерывность в точке $x_0$ для всех топологических пространств. Если, $Y$- $T_1$, то, как Вы выше показали, $y_0=f(x_0)$. Получается, что второе определние (где $x_0$ не вычитается) сильнее первого, в том смысле что, если $y_0$- предел отображения $f:D\to Y, x\to x_0$ в смысле "определения 2", то $y_0$- предел в смысле "определения 1". Эквивалентны ли эти определния, если $X$ и $Y$- метризуемы? В смысле "определения 2" из непрерывности в точке $x_0$ следует, что $f(x_0)$- предел отображения $f:D\to Y,x\to x_0$, однако, если $Y$- не хаусдорфово, могут сущещствать $y\in Y$, которое будет являтся пределом $f$ при $x\to x_0$.

Someone в сообщении #638531 писал(а):

Если пространство не хаусдорфово, то отображение может иметь много пределов при в смысле первого определения (где точка вычитается из окрестности).

Это, как я понял, потому что $X$- хаусдорфово, тогда и только тогда, когда всякая направленность содержит не более одного предела.

Someone в сообщении #638531 писал(а):

Когда я это писал, я имел в виду следующее "альтернативное" определение предела: пусть - отображение множества в топологическое пространство , (квадратные скобки обозначают замыкание множества); точка называется пределом отображения при , если для каждой окрестности точки существует такая окрестность точки , что .

Не понял сути. Рассматриваем $D$- как пространство с индуцированной топологией. Хотелось сказать, что $[D]_X$ с тождественным вложением- какая-то компактификация $D$, но оно легко может быть не компактно.

[xmaister]

xmaister в сообщении #638688 писал(а):

В смысле "определения 2" из непрерывности в точке следует, что - предел отображения , однако, если - не хаусдорфово, могут сущещствать , которое будет являтся пределом при .

Очепятка, имелось в виду $Y$- не $T_1$.

[Someone]

xmaister в сообщении #638688 писал(а):

Зачем вычитать точку $x_0$ из её окрестности $Ox_0$?

Ну, это стандартное определение предела в математическом анализе. Можно посмотреть, например, трёхтомник Г.М.Фихтенгольца (пункт 52). Или "Курс математического анализа" Л.Д.Кудрявцева (пункт 4.5). Замените только термин "интервал" термином "окрестность".
Дело, видимо, в том, что предел как самостоятельное понятие интересен в первую очередь в тех случаях, когда функция не является непрерывной.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):

Получается, что второе определние (где $x_0$ не вычитается) сильнее первого, в том смысле что, если $y_0$- предел отображения $f:D\to Y, x\to x_0$ в смысле "определения 2", то $y_0$- предел в смысле "определения 1".

Да. А наоборот - не обязательно.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):

Эквивалентны ли эти определния, если $X$ и $Y$- метризуемы?

Они не эквивалентны, даже если ограничиваться числовой прямой. Но оба определения в литературе встречаются.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):

Someone в сообщении #638531 писал(а):

Когда я это писал, я имел в виду следующее "альтернативное" определение предела: пусть $f\colon D\to Y$ - отображение множества $D$ в топологическое пространство $Y$, $x_0\in[D]_X$ (квадратные скобки обозначают замыкание множества); точка $y_0\in Y$ называется пределом отображения $f$ при $x\to x_0$, если для каждой окрестности $Oy_0\subseteq Y$ точки $y_0$ существует такая окрестность $Ox_0\subseteq X$ точки $x_0$, что $f(Ox_0\cap D)\subseteq Oy_0$.

Не понял сути. Рассматриваем $D$- как пространство с индуцированной топологией.

Нет, это не то. Точка $x_0$ ведь может и не принадлежать $D$.

xmaister в сообщении #638688 писал(а):

Хотелось сказать, что $[D]_X$ с тождественным вложением- какая-то компактификация $D$, но оно легко может быть не компактно.

Конечно, компактификации тут ни при чём.

[xmaister]

Вроде начинаю понимать, напишу:
Пусть $X,Y$- топологические пространства, $U\subset X$ и $f:U\to Y$, тогда, если $x_0\in U$, то $\lim\limits_{x\to x_0}=y_0\in Y$, если для всякой $U_{y_0}\subset Y$ существует $U_{x_0}$, такое что $f(U_{x_0}\cap U)\subset U_{y_0}$ (2). Это определение корректно, только если $x_0\in U$. Из существования предела в точке $x_0$ следует непрерывность в точке $x_0$. Как Вы уже говорили, если $Y-T_1$, то из существования предела следует его единственность. Если $Y$- не $T_1$, то предел может быть не единственный, действительно, пусть $X$- произвольное топологическое прстранство, не удовлетворяющее аксиоме $T_1$. Рассмотрим $\mathrm{id}:X\to X$ и положим, что $B_x=\{y|\forall U_x\ y\in U_x\}$. Предел $\lim\limits_{z\to x}\mathrm{id}$- существует для всех $x\in X$, причем ясно, что множество пределов, совпадает c $B_x$. Т.к $X$- не $T_1$, то сущетвует $x\in X$, такое что $|B_x|>1$.
Пусть также $X,Y$- топологические пространства и $U\subset X$. Положим, что $x_0\in U^{\mathrm{d}}$, $U^{\mathrm{d}}$- производное множество. Тогда $\lim\limits_{x\to x_0}=y_0\in Y$, если для всякой $U_{x_0}$ существует $U_{y_0}$, такая что $f(U_{x_0}\cap U\setminus\{x_0\})\subset U_{y_0}$ (1). Такое определение корректно только если $x_0\in U^d$. Ваш пример показывает, что из существования предела (1) не следует непрерывность.
Пусть далее $x_0\in U,x_0\in U^{\mathrm{d}}$."Определение 1" и "определение 2" не эквивалентны, если $f:U\to Y$ разрывна в точке $x_0$. Например $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, где $f(x)=0,x\ne 0,f(0)=2$. Пусть $f:U\to Y$- непрерывна в точке $x_0$ и $Y$- хаусдорфово, тогда определния (1) и (2) эквивалентны. Если $Y$ не хаусдорфово, то какой можно пример взять чтобы увидеть не эквиалентоность?

[Someone]

xmaister в сообщении #639531 писал(а):

Пусть далее $x_0\in U,x_0\in U^{\mathrm{d}}$."Определение 1" и "определение 2" не эквивалентны, если $f:U\to Y$ разрывна в точке $x_0$. Например $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, где $f(x)=0,x\ne 0,f(0)=2$. Пусть $f:U\to Y$- непрерывна в точке $x_0$ и $Y$- хаусдорфово, тогда определния (1) и (2) эквивалентны. Если $Y$ не хаусдорфово, то какой можно пример взять чтобы увидеть не эквиалентоность?

Пусть $X=\mathbb R$ и $D=[0;1)$ с обычной топологией, $Y=\{0_1,0_2\}\cup(0;1)$, где $0_1$ и $0_2$ - различные элементы, не принадлежащие интервалу $(0;1)$. Базу топологии пространства $Y$ образуют интервалы $(a;b)\subseteq(0;1)$, а также множества видов $\{0_1\}\cup(0;b)$ и $\{0_2\}\cup(0;b)$, где $b\in(0;1)$. Отображение $f\colon D\to Y$ определим равенствами $f(x)=x$ при $x\in(0;1)$, $f(0)=0_1$. $Y$ является не хаусдорфовым $T_1$-пространством. Отображение $f$ имеет два различных предела при $x\to 0$ ($0_1$ и $0_2$) в смысле первого определения и только один ($0_1$) в смысле второго.

[alcoholist]

xmaister в сообщении #639531 писал(а):

Как Вы уже говорили, если $Y-T_1$, то из существования предела следует его единственность

нет, нужна хаусдорфовость, т.е. $T_2$

[Someone]

alcoholist в сообщении #639648 писал(а):

xmaister в сообщении #639531 писал(а):

Как Вы уже говорили, если $Y-T_1$, то из существования предела следует его единственность

нет, нужна хаусдорфовость, т.е. $T_2$

Вы не обратили внимание, что там, вероятно, другое определение предела, чем Вы привыкли, и рассматривается случай, когда функция определена в той точке, в которой вычисляется предел.