Суммирование рядов с помощью интегралов

[minn]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac 1 {3n-2} =\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\int\limits_{0}^{ 1}x^{3n-3}dx$ так?

Toucan:

$\infty$ набирается так: \infty. Поправил.

[TOTAL]

Сумму интегралов заменяйте на интеграл суммы, находите эту сумму.

[ИСН]

Теперь переставьте местами интеграл и ряд.

[minn]

спасибо, представление есть как это написать, но не хватает навыков чтобы посчитать грамотно, поэтому пошагово
Дальше преобразуется до такого состояния?
$\int\limits_{0}^{ 1}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)\dfrac 1 {x^3}(-x^3)^ndx$

[TOTAL]

minn в сообщении #635801 писал(а):

Дальше преобразуется до такого состояния?

Теперь запишите на листочке несколько первых слагаемых суммы и найдите отношение соседних слагаемых

[minn]

$\ (-1)\dfrac 1 {x^3}dx$
т.е. ряд будет такой: 1 ${-x^3}$+${x^6}$ ${-x^9}$...

[TOTAL]

minn в сообщении #635824 писал(а):

$\ (-1)\dfrac 1 {x^3}dx$
т.е. ряд будет такой: 1 ${-x^3}$+${x^6}$ ${-x^9}$...

Если бы $x$ было меньше 1, смогли бы найти сумму? Найдите сумму, считая $0 \le x<1$

[minn]

а это не геометрическая прогрессия случайно?

-- 25.10.2012, 22:05 --

не знаю правильно ли посчитала, но ответ получился 1

[TOTAL]

minn в сообщении #635829 писал(а):

а это не геометрическая прогрессия случайно?

Решайте сами (ведь это прогрессия или не прогрессия не потому, что кто-то так скажет)

(Я ушел)

[minn]

спасибо, я лишь высказала свое предположение

[ИСН]

Да, это геометрическая прогрессия. Нет, её сумма не 1.

[minn]

ИСН в сообщении #635841 писал(а):

Да, это геометрическая прогрессия. Нет, её сумма не 1.

тогда у меня ошибка в том наверно, что надо было брать в числителе второй элемент, а в знаменателе сумму первого и второго

[ИСН]

не знаю никакого числителя и знаменателя. кто все эти люди? неважно.

-- Чт, 2012-10-25, 22:31 --

сумму прогрессии найдите. да.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Maslov в сообщении #635750 писал(а):

$\int\limits_{0}^{ 1}$ $dx= \dfrac 1 5$

$$\int\limits_{0}^{ 1} \dfrac 1 5 dx = \dfrac 1 5 $$

minn, это шутка, не обращайте на нее внимания.

[minn]

$\int\limits_{0}^{ 1}\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)\dfrac {x^3}{1-x^3}dx$
потом в числителе $+1-1$ и разбиваем на два интеграла?