Теория чисел и групп.

[lek]

Deceember в сообщении #634551 писал(а):

Теперь другой вопрос. Как доказать что произведение двух циклических групп из трех элементов будет нециклической и абелвой группой. Мне это представили как факт и дали ссылку на учебник, где было очень сложно пока для меня рассказано. Проще не нашел, а доказательство так и не знаю

Тогда считайте "в лоб". Постройте таблицу умножений элементов этой группы (размера $9\times9$). Получить ее легко, поскольку соответствующие таблицы для прямых сомножителей (трехэлементных групп) очень просты, а элементы из разных сомножителей коммутируют (по определению прямого произведения двух групп). Из вида построенной таблицы сразу будет следовать абелевость построенной группы и ее нецикличность (поскольку порядок любого элемента будет меньше 9).

[bot]

В лоб - это верно, только в такой-то зачем? Надо просто усвоить определение прямого произведения групп и согласно этому определению посчитать порядки элементов.

(Оффтоп)

Я что-то пропустил и речь уже пошла о произведении двух групп порядка 9, а не 3?

[lek]

bot в сообщении #634646 писал(а):

В лоб - это верно, только в такой-то зачем? Надо просто усвоить определение прямого произведения групп и согласно этому определению посчитать порядки элементов.

(Оффтоп)

Я что-то пропустил и речь уже пошла о произведении двух групп порядка 9, а не 3?

Верно. И абелевость рассматриваемого прямого произведения можно доказать в одну строчку. Однако текущий уровень знаний ТС - величина неизвестная

(Оффтоп)

Да нет, все верно - произведение $A_3\times A_3$.

[Deceember]

ИСН
VAL

Друзья)

Я наконец-то понял определение прямого произведения и хочу теперь выяснить у вас правильно ли у меня все в голове уложилось. Вообще это очень похоже на декартово произведение множеств.


Пусть есть две группы G* порядка m и H порядка n. Элементы их прямого произведения это пары вида
(g[i],h[i]). Умножение элементов прямого произведения определено как (g1,h1)x(g2,h2)=(g1*g2,h1*h2)

Тогда в таблице умножения стоят ПАРЫ чисел.

Также для меня теперь очевидно, что в группе m*n элементов.

Что мне так и не стало очевидным. В книжке, компетентность автора которой у меня сомнений не вызывает написано, что Z16*=Z4+xZ2+ Я согласен с тем, что в Z16 по умножению 8 элементов. И так как в одной из групп (Z2 например операция сложения, то (g1,h1)x(g2,h2)=(g1+g2,h1+h2) ) Но извините. В Z16* Все таки числа, а прямое произведение это пары числе. Откуда?????

Второе: Я так и не понял и мне никто не хочет сказать, как доказать, что группа, представляющая из себя симметрическую разность Абелева. И как проверить ее же, является ли она циклической или нет????

И еще пару вопросов. Sn, например, это просто группа подстановок??? Верно? Тогда почему она называется симметричной группой. И A - знакочередующаяся группа постановок. Тогда, как я понимаю, в Sn входят все вообще возможные подстановки. Например S=4 их 16. А тогда, какие из них входят в A4

Очень прошу меня проконсультировать, а то я уже отчаиваюсь совсем(

[ИСН]

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

Тогда в таблице умножения стоят ПАРЫ чисел.

Чисел НЕТ. Есть элементы групп. Вот из них-то и есть пары. А чисел нет. Нет чисел совсем. Пока Вы это не запомните как следует, они будут приходить по ночам, как сигарета к завязавшему курильщику. Просыпаетесь, а на кровати сидит число.

-- Вт, 2012-10-23, 20:23 --

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

написано, что Z16*=Z4+xZ2+

Напишите по-человечески. Это я не из самодурства прошу, а потому что не могу даже предположительно понять, что там было на самом деле.

-- Вт, 2012-10-23, 20:26 --

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

Я так и не понял и мне никто не хочет сказать, как доказать, что группа, представляющая из себя симметрическую разность Абелева.

Я не поленился и проверил поиском. Слово "разность" в этом сообщении появилось у Вас впервые. О чём речь? Какая разность, кого с кем, что это вообще такое?

[Deceember]

-- 23.10.2012, 20:30 --

ИСН
Нет))) Я согласен, элементы. Все, не будет больше. Просто это как переход с одноого языка программирования на другой иногда чисто по привычке начинаешь писать синтаксис ++ а Шарп его подчеркивает)

Как я понял часть мох размышлений была верной. В книге написано, что группа по умножению по модулю 16 это прямое произведение Группы по сложению по модулю 2 и группы по сложению по модулю 4. Но там же пары, и я этого не понял.

Это уже просто, от усталости) Я имел ввиду прямое произведение)) Че то вообще куда-то съехал) Просто одновременно решал задачу про симметрическую разность.

[ИСН]

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

Sn, например, это просто группа подстановок??? Верно? Тогда почему она называется симметричной группой.

Она так НЕ называется.

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

все вообще возможные подстановки. Например S=4 их 16.

Не 16.

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

какие из них входят в A4

Так называемые "чётные".

-- Вт, 2012-10-23, 20:33 --

Deceember в сообщении #634888 писал(а):

В книге написано, что группа по умножению по модулю 16 это

Минуточку, а что это вообще за группа? Сколько в ней элементов, и какие?

[VAL]

Deceember в сообщении #634864 писал(а):

Что мне так и не стало очевидным. В книжке, компетентность автора которой у меня сомнений не вызывает написано, что Z16*=Z4+xZ2+ Я согласен с тем, что в Z16 по умножению 8 элементов. И так как в одной из групп (Z2 например операция сложения, то (g1,h1)x(g2,h2)=(g1+g2,h1+h2) ) Но извините. В Z16* Все таки числа, а прямое произведение это пары числе. Откуда?????

Чтобы ответить на возникшие вопросы, разберитесь с понятием изоморфизм (в частности, изоморфизм групп).

Цитата:

Второе: Я так и не понял и мне никто не хочет сказать, как доказать, что группа, представляющая из себя симметрическую разность.

Доказывать можно утверждения. А в Вашей фразе никакого утверждения нет. Есть только намек. И тот коряво сформулирован. Для начала четко сформулируйте задачу. (Часто этого бывает достаточно для решения.)

Цитата:

И как проверить ее же, является ли она циклической или нет????

Пока не ясно, о какой группе речь - никак.

Цитата:

И еще пару вопросов. Sn, например, это просто группа подстановок??? Верно? Тогда почему она называется симметричной группой.

Тесно связана с симметриями. Это видно, например, при изучении симметрических многочленов.

Цитата:

И A - знакочередующаяся группа постановок. Тогда, как я понимаю, в Sn входят все вообще возможные подстановки. Например S=4 их 16.

Что значит, $S=4$? Вы имели в виду $n=4$? Тогда их не 16/

Цитата:

А тогда, какие из них входят в A4

Четные.

Цитата:

Очень прошу меня проконсультировать, а то я уже отчаиваюсь совсем(

Отчаиваться не надо! А вот научиться четко формулировать вопросы и набирать формулы в LaTeX'е стоит.

[Deceember]

1) Симметрическая группа перестановок - я ошибся, но все равно не понял почему так называется.

2) Не 16 4!=24. Ошибся, сори(

Четные это те которые имеют четное число циклов. Тогда вопрос В A3, судя по найденной мной формуле содержится 3 элемента 3!/2 . Таким образом из 6 перестановок S3 только 3 можно разложить в четное число циклов?

4) Группа, состоящая из элементов {1,3,5,7,9,11,13,15} mod 16. Это группа и в книжке написано, что она представляет прямое произведение групп, указанных выше. Вопрос актуален !

[ИСН]

Deceember в сообщении #634920 писал(а):

Группа, состоящая из элементов {1,3,5,7,9,11,13,15} mod 16.

Эта запись не делает смысла. Группа - это какое-то множество и какая-то операция на нём. Множество без операции - это не группа. (И операция без множества, на всякий случай - тоже не группа.) Множество вижу, операцию - нет.

[Deceember]

VAL
Я понимаю что такое изоморфизм, но здесь не понимаю или не вижу, как установить изоморфизм между парами и числами. Я не вижу какой он именно. И какое правило его построения(

-- 23.10.2012, 20:54 --

ИСН
Операция умножение по модулю 16.

[VAL]

Deceember в сообщении #634932 писал(а):

VAL
Я понимаю что такое изоморфизм, но здесь не понимаю или не вижу, как установить изоморфизм между парами и числами. Я не вижу какой он именно. И какое правило его построения(

Так найдите (постройте) этот изоморфизм.
Начните с того, что при автоморфизме каждый элемент переходит в элемент того же порядка. Найдите порядки элементов $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_4$ и $\mathbb Z_{16}^{*}$ и многое прояснится.

[Deceember]

VAL
Щас сделаю.

VAL
ИСН
И еще вопрос, Смотрите я в принципе понимаю о чем вы говорите когда просите перебрать и посмотреть что группа циклическая или абелева. Но 2 циклические группы в произведении, как вы уже раньше сказали, дают нециклическую группу. И как доказать что она именно нецилическая. Тут уже же не подходит контрпример типа найти образующий элемент и радоваться жизни. Кто-то мне говорил есть теорема какая-то. Если так, то можете кинуть линк на док-во или сами помочь с началом доказательства?

[ИСН]

Там то же самое: порядки искать надо.

[Deceember]

ИСН, Окей, не спорю. Я найду порядки всех элементов группы (прямого произведения), а как потом найденных порядков сделать вывод о том, что она циклическая/нециклическая?