2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 22:25 


21/11/10
546
Составил такую вот таблицу, которая иллюстрирует распределение вероятности нахождения частицы совершающей одномерное броуновское движение:
Изображение
Похоже на треугольник Паскаля и физический опыт с шариками который иллюстрирует вид нормального распределения, но не совсем...
Лиловой краской в таблице залито максимальное значение чисел из одной строки, желтой равные значения в одной строке.
Из таблицы следует что максимум плотности вероятности нахождения частицы движется вправо.
В литературе мне не встречалось.
Коэффициенты в строке связаны с биномиальными, но как пока не знаю как именно.
У меня есть только рекуррентный способ записи.
Может кто-нибудь знает подробности?

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 22:33 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ishhan в сообщении #633281 писал(а):
У меня есть только рекуррентный способ записи.
Ну так давайте его сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 22:50 


21/11/10
546
$a^m_n=a^m_{n-1}+a^{m-1}_{n+1}$
$a^1_n=a^1_{n+1}=a^1_{n-1}=1$
И если m,n равны нулю или меньше нуля , то коэффициент $a^m_n=0$
Индекс $m$ это косая строка таблицы.
Так первая последовательность$ a^1_n=1 $(косая строка)состоит из единиц.
Вторая косая строка или последовательность $a^2_n=n$ представляет собой арифметическую прогрессию.

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
$a^m_n =: b^m_{m+n} \Rightarrow b^m_n = b^m_{n-1} + b^{m-1}_n$. :wink:

ishhan в сообщении #633296 писал(а):
И если m,n равны нулю или меньше нуля , то коэффициент $a^m_n=0$
Это ещё бабушка надвое сказала. У биномиальных коэффициентов, например, там в одном из трёх квадрантов не совсем нули…

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:19 
Аватара пользователя


25/03/08
241
У вас получился треугольник Каталана, правда записанный в немного нестандартном виде.

Изображение

Вот, выровняйте его по диагоналям и получите свою таблицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:30 


21/11/10
546
Мне ясно пока только то, что число максимумов на$ i$- том ,"блуждании" частицы равно $2i$ и тем самым иллюстрируется значение производной квадратичной функции типа $x=i^2$, где $x$ число блужданий.

-- Сб окт 20, 2012 23:42:26 --

Nilenbert в сообщении #633309 писал(а):
У вас получился треугольник Каталана, правда записанный в немного нестандартном виде.


Спасибо за ссылку и подробности.
Мне лично больше нравится мой способ получения треугольника Каталана ( хотя это нескромно с моей стороны), так как он содержит очевидный физический смысл одномерного блуждания броуновской частицы.
Впрочем с подробностями Вашей ссылки пока не ознакомился...
P.S. Наверное правильнее сказать не одномерного блуждания, а радиального блуждания (или что то в этом роде), там присутствует какая то тонкость.

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:52 
Аватара пользователя


25/03/08
241
ishhan в сообщении #633315 писал(а):
P.S. Наверное правильнее сказать не одномерного блуждания, а радиального блуждания (или что то в этом роде), там присутствует какая то тонкость.

Это называется случайное блуждание с отражением(random walk with reflection).

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение21.10.2012, 00:07 


21/11/10
546
Nilenbert в сообщении #633318 писал(а):
Это называется случайное блуждание с отражением(random walk with reflection).


А если считать это гибелью частицы в точке ноль или рождением частицы в точке ноль?
Но все же, понятней, именно с отражением.

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение21.10.2012, 00:14 
Аватара пользователя


05/10/12

122
ishhan в сообщении #633281 писал(а):
Похоже на треугольник Паскаля и физический опыт с шариками который иллюстрирует вид нормального распределения, но не совсем...
Коэффициенты в строке связаны с биномиальными, но как пока не знаю как именно.

Да естественно, не будь у вас стенки слева, то у вас получилось бы формула Бернулли с биномиальными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение21.10.2012, 00:35 


21/11/10
546
VIP в сообщении #633333 писал(а):
Да естественно, не будь у вас стенки слева, то у вас получилось бы формула Бернулли с биномиальными коэффициентами.


Тогда получается, что треугольник Каталана это "треугольник Паскаля, в котором имеется стенка"
Так что же из себя представляет таблица распределения плотности вероятности блуждания с отражением?
И как её правильней назвать?

 Профиль  
                  
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение22.10.2012, 13:44 


21/11/10
546
Этот вариант таблицы относится к броуновскому блужданию с отражением от движущейся стенки.
Скорость движения стенки в три раза меньше чем у частицы (и этот факт требует уточнения с точки зрения физики)
Изображение
Синим цветом залиты максимумы вероятности нахождения частицы.
Этот треугольник, наверное, можно назвать "динамическим треугольником Каталана".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group