О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.

[ishhan]

Составил такую вот таблицу, которая иллюстрирует распределение вероятности нахождения частицы совершающей одномерное броуновское движение:

Похоже на треугольник Паскаля и физический опыт с шариками который иллюстрирует вид нормального распределения, но не совсем...
Лиловой краской в таблице залито максимальное значение чисел из одной строки, желтой равные значения в одной строке.
Из таблицы следует что максимум плотности вероятности нахождения частицы движется вправо.
В литературе мне не встречалось.
Коэффициенты в строке связаны с биномиальными, но как пока не знаю как именно.
У меня есть только рекуррентный способ записи.
Может кто-нибудь знает подробности?

[arseniiv]

ishhan в сообщении #633281 писал(а):

У меня есть только рекуррентный способ записи.

Ну так давайте его сюда.

[ishhan]

$a^m_n=a^m_{n-1}+a^{m-1}_{n+1}$
$a^1_n=a^1_{n+1}=a^1_{n-1}=1$
И если m,n равны нулю или меньше нуля , то коэффициент $a^m_n=0$
Индекс $m$ это косая строка таблицы.
Так первая последовательность$ a^1_n=1 $(косая строка)состоит из единиц.
Вторая косая строка или последовательность $a^2_n=n$ представляет собой арифметическую прогрессию.

[arseniiv]

$a^m_n =: b^m_{m+n} \Rightarrow b^m_n = b^m_{n-1} + b^{m-1}_n$.

ishhan в сообщении #633296 писал(а):

И если m,n равны нулю или меньше нуля , то коэффициент $a^m_n=0$

Это ещё бабушка надвое сказала. У биномиальных коэффициентов, например, там в одном из трёх квадрантов не совсем нули…

[Nilenbert]

У вас получился треугольник Каталана, правда записанный в немного нестандартном виде.



Вот, выровняйте его по диагоналям и получите свою таблицу.

[ishhan]

Мне ясно пока только то, что число максимумов на$ i$- том ,"блуждании" частицы равно $2i$ и тем самым иллюстрируется значение производной квадратичной функции типа $x=i^2$, где $x$ число блужданий.

-- Сб окт 20, 2012 23:42:26 --

Nilenbert в сообщении #633309 писал(а):

У вас получился треугольник Каталана, правда записанный в немного нестандартном виде.

Спасибо за ссылку и подробности.
Мне лично больше нравится мой способ получения треугольника Каталана ( хотя это нескромно с моей стороны), так как он содержит очевидный физический смысл одномерного блуждания броуновской частицы.
Впрочем с подробностями Вашей ссылки пока не ознакомился...
P.S. Наверное правильнее сказать не одномерного блуждания, а радиального блуждания (или что то в этом роде), там присутствует какая то тонкость.

[Nilenbert]

ishhan в сообщении #633315 писал(а):

P.S. Наверное правильнее сказать не одномерного блуждания, а радиального блуждания (или что то в этом роде), там присутствует какая то тонкость.

Это называется случайное блуждание с отражением(random walk with reflection).

[ishhan]

Nilenbert в сообщении #633318 писал(а):

Это называется случайное блуждание с отражением(random walk with reflection).

А если считать это гибелью частицы в точке ноль или рождением частицы в точке ноль?
Но все же, понятней, именно с отражением.

[VIP]

ishhan в сообщении #633281 писал(а):

Похоже на треугольник Паскаля и физический опыт с шариками который иллюстрирует вид нормального распределения, но не совсем...
Коэффициенты в строке связаны с биномиальными, но как пока не знаю как именно.

Да естественно, не будь у вас стенки слева, то у вас получилось бы формула Бернулли с биномиальными коэффициентами.

[ishhan]

VIP в сообщении #633333 писал(а):

Да естественно, не будь у вас стенки слева, то у вас получилось бы формула Бернулли с биномиальными коэффициентами.

Тогда получается, что треугольник Каталана это "треугольник Паскаля, в котором имеется стенка"
Так что же из себя представляет таблица распределения плотности вероятности блуждания с отражением?
И как её правильней назвать?

[ishhan]

Этот вариант таблицы относится к броуновскому блужданию с отражением от движущейся стенки.
Скорость движения стенки в три раза меньше чем у частицы (и этот факт требует уточнения с точки зрения физики)

Синим цветом залиты максимумы вероятности нахождения частицы.
Этот треугольник, наверное, можно назвать "динамическим треугольником Каталана".