2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 22:25 
Составил такую вот таблицу, которая иллюстрирует распределение вероятности нахождения частицы совершающей одномерное броуновское движение:
Изображение
Похоже на треугольник Паскаля и физический опыт с шариками который иллюстрирует вид нормального распределения, но не совсем...
Лиловой краской в таблице залито максимальное значение чисел из одной строки, желтой равные значения в одной строке.
Из таблицы следует что максимум плотности вероятности нахождения частицы движется вправо.
В литературе мне не встречалось.
Коэффициенты в строке связаны с биномиальными, но как пока не знаю как именно.
У меня есть только рекуррентный способ записи.
Может кто-нибудь знает подробности?

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 22:33 
ishhan в сообщении #633281 писал(а):
У меня есть только рекуррентный способ записи.
Ну так давайте его сюда.

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 22:50 
$a^m_n=a^m_{n-1}+a^{m-1}_{n+1}$
$a^1_n=a^1_{n+1}=a^1_{n-1}=1$
И если m,n равны нулю или меньше нуля , то коэффициент $a^m_n=0$
Индекс $m$ это косая строка таблицы.
Так первая последовательность$ a^1_n=1 $(косая строка)состоит из единиц.
Вторая косая строка или последовательность $a^2_n=n$ представляет собой арифметическую прогрессию.

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:06 
$a^m_n =: b^m_{m+n} \Rightarrow b^m_n = b^m_{n-1} + b^{m-1}_n$. :wink:

ishhan в сообщении #633296 писал(а):
И если m,n равны нулю или меньше нуля , то коэффициент $a^m_n=0$
Это ещё бабушка надвое сказала. У биномиальных коэффициентов, например, там в одном из трёх квадрантов не совсем нули…

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:19 
Аватара пользователя
У вас получился треугольник Каталана, правда записанный в немного нестандартном виде.

Изображение

Вот, выровняйте его по диагоналям и получите свою таблицу.

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:30 
Мне ясно пока только то, что число максимумов на$ i$- том ,"блуждании" частицы равно $2i$ и тем самым иллюстрируется значение производной квадратичной функции типа $x=i^2$, где $x$ число блужданий.

-- Сб окт 20, 2012 23:42:26 --

Nilenbert в сообщении #633309 писал(а):
У вас получился треугольник Каталана, правда записанный в немного нестандартном виде.


Спасибо за ссылку и подробности.
Мне лично больше нравится мой способ получения треугольника Каталана ( хотя это нескромно с моей стороны), так как он содержит очевидный физический смысл одномерного блуждания броуновской частицы.
Впрочем с подробностями Вашей ссылки пока не ознакомился...
P.S. Наверное правильнее сказать не одномерного блуждания, а радиального блуждания (или что то в этом роде), там присутствует какая то тонкость.

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение20.10.2012, 23:52 
Аватара пользователя
ishhan в сообщении #633315 писал(а):
P.S. Наверное правильнее сказать не одномерного блуждания, а радиального блуждания (или что то в этом роде), там присутствует какая то тонкость.

Это называется случайное блуждание с отражением(random walk with reflection).

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение21.10.2012, 00:07 
Nilenbert в сообщении #633318 писал(а):
Это называется случайное блуждание с отражением(random walk with reflection).


А если считать это гибелью частицы в точке ноль или рождением частицы в точке ноль?
Но все же, понятней, именно с отражением.

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение21.10.2012, 00:14 
Аватара пользователя
ishhan в сообщении #633281 писал(а):
Похоже на треугольник Паскаля и физический опыт с шариками который иллюстрирует вид нормального распределения, но не совсем...
Коэффициенты в строке связаны с биномиальными, но как пока не знаю как именно.

Да естественно, не будь у вас стенки слева, то у вас получилось бы формула Бернулли с биномиальными коэффициентами.

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение21.10.2012, 00:35 
VIP в сообщении #633333 писал(а):
Да естественно, не будь у вас стенки слева, то у вас получилось бы формула Бернулли с биномиальными коэффициентами.


Тогда получается, что треугольник Каталана это "треугольник Паскаля, в котором имеется стенка"
Так что же из себя представляет таблица распределения плотности вероятности блуждания с отражением?
И как её правильней назвать?

 
 
 
 Re: О физическом и комбинаторном смысле броуновского движения.
Сообщение22.10.2012, 13:44 
Этот вариант таблицы относится к броуновскому блужданию с отражением от движущейся стенки.
Скорость движения стенки в три раза меньше чем у частицы (и этот факт требует уточнения с точки зрения физики)
Изображение
Синим цветом залиты максимумы вероятности нахождения частицы.
Этот треугольник, наверное, можно назвать "динамическим треугольником Каталана".

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group