Я рад слышать такой вывод, в принципе, мне его достаточно.
Я вообще-то очень удивлён. Я был твёрдо уверен, что Вы неправы. Ещё раз приношу извинения. Как Вы сразу об этом знали?
Но подождите, может быть Вы дальше не согласитесь.
Итак, моей целью будет наложить ограничения на функцию
для ускоренной жёсткой системы отсчёта, т.е. такой системы, интервал которой в собственных координатах есть
![$d{{s}^{2}}={{\left[ 1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r} \right]}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{\mathbf{r}}^{2}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/67415094c994871ad3e30188d7a8c36782.png "$d{{s}^{2}}={{\left[ 1+\mathbf{W}(t)\mathbf{r} \right]}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{\mathbf{r}}^{2}}$")
В качестве примера существа сделанных приближений рассмотрим эффект неоднородности скоростей в ускоренной системе отсчёта. Остальные эффекты сделанных приближений не меняют. Поскольку дальнейшее обсуждение будет касаться формулы для скорости точек системы координат, то имеет смысл её здесь выписать. Только напишем её с большей точностью - до квадратов собственных координат и выразим через собственное ускорение и скорость изменения собственного ускорения. После довольно долгих вычислений у меня получается вот такая страшненькая формула.
(*)
Смысл величин входящих в эту формулу таков.
- скорость точек радиально жёсткой системы отсчёта в лабораторной системе. Другими словами – это скорость точки с собственной координатой
у воображаемого, идеально твёрдого тела.
- скорость у начала отсчёта в лабораторной системе.
- ускорение и рывок у начала отсчёта в собственной системе. В принципе уже отсюда видно, что если собственное ускорение у начала отсчёта идеально твёрдого тела меняется достаточно быстро - скачком, то третьим членом пренебрегать нельзя.
Если реальное твёрдое тело обладает постоянным собственным ускорением и если ускорение тела нерелятивистское, то
и уравнение (*) справедливо для него без всяких исключений. Если же собственное ускорение меняется, то реальное твёрдое тело имеет такую же скорость точек, но с некоторой поправкой. Выясним порядок этой поправки. При изменении собственного ускорения на
материальная точка реального тела смещается относительно её прежнего положения на расстояние порядка
. Здесь t - время для распространения возмущения вызванного изменением собственного ускорения от начала отсчёта до точки
. Если материал однородный, то оно будет равно
, где
- скорость звука. Будем считать её малой, нерелятивистской, т.е. тело классическим.
Следовательно, скорость точки при деформации реального тела вызванное изменением собственного ускорения будет порядка
, где
- скорость изменения собственного ускорения в собственной системе отсчёта. Поправка к скорости точки относительно лабораторной системы отсчёта вызванная меняющимся собственным ускорением будет определяться преобразованием скорости. Если всё правильно подсчитать, то эта поправочка будет равна
, то есть порядка
Поскольку скорость звука малая, то эта поправка будет значительно больше чем последние 2 члена в уравнении (*) и их можно не учитывать. Остальные члены второго порядка тоже малые по сравнению с членами первого порядка по условию нерелятивистского ускорения и их тоже можно отбросить. Коэффициенты зависящие от скорости во всех членах ограничены по величине и от них ничего не зависит.
Таким образом, чтобы вообще пренебречь поправкой на собственную деформацию по сравнению с членом первого порядка необходимо считать, что
или
То есть собственный рывок тела должен быть не то что нерелятивистский, но даже классически достаточно малый. Вот такие два условия.
-- Ср окт 17, 2012 10:45:12 --Во всяком случае при резком изменении собственного ускорения в ускоренном стержне появляются переходные процессы, которые заставляют признать в этот момент стержень нежёстким.
Все точки стержня не только могут моментально изменить ускорение, но даже могут и скачком изменить скорость, и при этом собственная длина стержня нигде и никогда не изменится.
Не, epros... Тут всё гораздо более невероятно. Телепортация
Вот смотрите. Какой у нас критерий жёсткости? Просто постоянство координаты. Вот и давайте применять его без всяких ограничений. Значит пусть имеется равноускоренная система отсчёта и точка всё время находится на расстоянии x. Внезапно система отсчёта теряет своё ускорение и становится инерциальной, но точка продолжает находиться на расстоянии х (мы же так условились). Что будет видно из лабораторной системы? Что точка внезапно перепрыгнула на некоторое расстояние вдоль своего движения (впрочем малое). Это невероятно.
Таким образом необходимо считать, что преобразование ЛМН справедливо только для достаточно малого изменения собственного ускорения. Бесконечно большой рывок, как в этом примере, невозможен.
![$d{s^2} = \left[ {{{(1 + {\bf{W}}(t){\bf{r}})}^2} - {{(\bf{\Omega} (t) \times {\bf{r}})}^2}} \right]d{t^2} - 2(\bf{\Omega} (t) \times {\bf{r}})d{\bf{r}}dt - d{{\bf{r}}^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/6/10667f0fe7d9a04e648ea099b23b5e2082.png "$d{s^2} = \left[ {{{(1 + {\bf{W}}(t){\bf{r}})}^2} - {{(\bf{\Omega} (t) \times {\bf{r}})}^2}} \right]d{t^2} - 2(\bf{\Omega} (t) \times {\bf{r}})d{\bf{r}}dt - d{{\bf{r}}^2}$")
![$\[\left( {t,\vec x} \right)\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/3/043d24fe5f7ecd3189f3a4f6f3b8073082.png "$\[\left( {t,\vec x} \right)\]$")
, тогда как конкретно выглядит интервал? В тексте я не нахожу ответа, следовательно беру бумажку и начинаю изрисовывать ея самолапно. Положим![$$\[
\left\{ \begin{gathered}
T = \operatorname{sh} \theta \left( {\vec n \cdot \vec x} \right) + \int\limits_0^t {\operatorname{ch} \theta dt} \hfill \\
\vec R = \vec x + \left( {\operatorname{ch} \theta - 1} \right)\vec n\left( {\vec n \cdot \vec x} \right) + \int\limits_0^t {\operatorname{sh} \theta \vec ndt} \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/8/7a87278a878eae47705a7faa49dca93082.png "$$\[
\left\{ \begin{gathered}
T = \operatorname{sh} \theta \left( {\vec n \cdot \vec x} \right) + \int\limits_0^t {\operatorname{ch} \theta dt} \hfill \\
\vec R = \vec x + \left( {\operatorname{ch} \theta - 1} \right)\vec n\left( {\vec n \cdot \vec x} \right) + \int\limits_0^t {\operatorname{sh} \theta \vec ndt} \hfill \\
\end{gathered} \right.
\]
$$")
. Дальше мне ужно вычислить 
. Подставим, помножим, вычеркнем, приведем, преобразуем, сократим, вынесем за скобки... А, наконец-то!![$$\[
\begin{gathered}
dT^2 - d\vec R \cdot d\vec R = Adt^2 + \vec B \cdot dtd\vec x - d\vec x \cdot d\vec x \hfill \\
\vec B = \operatorname{sh} ^2 \theta \left( {\vec n\dot \vec n - \dot \vec n\vec n} \right) \cdot \vec x \hfill \\
A = 1 + 2\left( {\dot \theta \vec n + \operatorname{sh} \theta \dot \vec n} \right) \cdot \vec x + \left\{ {\left[ {\dot \theta ^2 - \left| {\dot \vec n} \right|^2 \left( {\operatorname{ch} \theta - 1} \right)^2 } \right]\vec n\vec n + \dot \theta \operatorname{sh} \theta \left( {\vec n\dot \vec n + \dot \vec n\vec n} \right) + 2\left( {\operatorname{ch} \theta - 1} \right)\dot \vec n\dot \vec n} \right\} \cdot \cdot \vec x\vec x \hfill \\
\end{gathered}
\]
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/f/94f4e544caece007c76bbadd016f63b182.png "$$\[
\begin{gathered}
dT^2 - d\vec R \cdot d\vec R = Adt^2 + \vec B \cdot dtd\vec x - d\vec x \cdot d\vec x \hfill \\
\vec B = \operatorname{sh} ^2 \theta \left( {\vec n\dot \vec n - \dot \vec n\vec n} \right) \cdot \vec x \hfill \\
A = 1 + 2\left( {\dot \theta \vec n + \operatorname{sh} \theta \dot \vec n} \right) \cdot \vec x + \left\{ {\left[ {\dot \theta ^2 - \left| {\dot \vec n} \right|^2 \left( {\operatorname{ch} \theta - 1} \right)^2 } \right]\vec n\vec n + \dot \theta \operatorname{sh} \theta \left( {\vec n\dot \vec n + \dot \vec n\vec n} \right) + 2\left( {\operatorname{ch} \theta - 1} \right)\dot \vec n\dot \vec n} \right\} \cdot \cdot \vec x\vec x \hfill \\
\end{gathered}
\]
$$")
и 
.
и существует вектор Киллинга 
где первая координата - 
Без каких-либо апелляций к жёсткости, которые, напоминаю, нелепы.
в правильную сторону). Тогда A вынуждена будет двигаться назад во времени, чтобы поддержать собственное расстояние.
? Нельзя ли привести формулу для ускорения с нулевой начальной скоростью?
(с точностью до функции) и т.п. Только эта Ваша омега скорее всего не имеет смысла угловой скорости. Угловую скорость еще посчитать надо. Например как здесь: 
С каких это пор? Обычно таковым является неизменность расстояния.
, но это уже не так страшно.