Сходимость ряда.

[Bidos]

Помогите, пожалуйста.

Известно, что произведение n и последовательности an стремится к нулю (при n стремящемся к бесконечности). Верно ли, что ряд an сходится и как это доказать?

Заранее спасибо.

[Ktina]

Bidos в сообщении #626306 писал(а):

Помогите, пожалуйста.

Известно, что произведение n и последовательности an стремится к нулю (при n стремящемся к бесконечности). Верно ли, что ряд an сходится и как это доказать?

Заранее спасибо.

По-моему, не верно.
Возьмите последовательность $\frac{1}{2}, \quad\frac{1}{2}, \quad\frac{1}{2}, \quad\frac{1}{2}, \quad\dots$
Произведение её элементов расходится к нулю, но её ряд расходится.

Это, если я верно поняла Ваш вопрос...

-- 03.10.2012, 00:15 --

А нет, стоп-машина!
Вы имели в виду $n$, помноженное на энный член последовательности?
Всё равно не верно -- возьмите числа, обратные квадратам.
Вот так: $\frac{1}{1},\quad\frac{1}{4},\quad\frac{1}{9},\quad\frac{1}{16},\quad\frac{1}{25},\quad \dots$

[_Ivana]

Цитата:

Всё равно не верно -- возьмите числа, обратные квадратам.

Только что прочитал в википедии

Цитата:

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 1%8F%D0%B4 , так что скорее всего сходится. Но надо доказать почетче.

[Ktina]

_Ivana в сообщении #626316 писал(а):

Цитата:

Всё равно не верно -- возьмите числа, обратные квадратам.

Только что прочитал в википедии

Цитата:

Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0% ... 1%8F%D0%B4 , так что скорее всего сходится. Но надо доказать почетче.

Вы правы, сходится, конечно.

[_Ivana]

Сумма двух геометрических прогрессий, сходится к 1.5 если не ошибаюсь. Удовлетворяет условию. Ещё один подтверждающий пример, не доказывающий ложность утверждения о сходимости.
ЗЫ пока писал ответ, пост с прогрессиями исчез...

[g______d]

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n\ln (n+1)}$ расходится (по интегральному признаку).

[_Ivana]

Да, нашлась функция растущая медленнее любой степенной, дающая расхождение ряда. Соответственно, и все функции меньшие логарифма тоже должны давать контрпримеры - тот же корень из логарифма, или функция, обратная $x^x$ и т.д.

[g______d]

Забавно, что $\frac{1}{n\ln n\ln \ln n}$ расходится, а $\frac{1}{n \ln^2 n}$ уже сходится.

[Bidos]

g______d в сообщении #626328 писал(а):

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n\ln (n+1)}$ расходится (по интегральному признаку).

Скажите пожалуйста, можно ли доказать то, что Ваш пример расходится без интегрального признака, или привести другой пример?

[nnosipov]

Bidos в сообщении #626467 писал(а):

Скажите пожалуйста, можно ли доказать то, что Ваш пример расходится без интегрального признака ...

Это можно сделать, но не уверен, что это будет проще. Лучше уж интегральный признак.

[Bidos]

nnosipov в сообщении #626471 писал(а):

Bidos в сообщении #626467 писал(а):

Скажите пожалуйста, можно ли доказать то, что Ваш пример расходится без интегрального признака ...

Это можно сделать, но не уверен, что это будет проще. Лучше уж интегральный признак.

Честно говоря, ну вот нельзя мне никак его пока использовать, такие правила :)

[nnosipov]

Ну, тогда докажите следующее: ряд с монотонно убывающими положительными $a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд с $b_k=2^ka_{2^k}$.

[ewert]

Bidos в сообщении #626477 писал(а):

Честно говоря, ну вот нельзя мне никак его пока использовать, такие правила :)

По условию $a_n=\frac1n\cdot\varepsilon_n$, где $\varepsilon_n\to0$. Известно, что чисто гармонический ряд, т.е. при $\varepsilon_n\equiv1$, расходится (это факт вполне элементарный). А любая конкретная расходимость если уж есть, то с некоторым запасом. Так что представляется очевидным, что при достаточно медленном стремлении $\varepsilon_n$ к нулю расходимость сохранится; вопрос лишь в том, как эти соображения формализовать.

Ну так легко. Поскольку последовательность частичных сумм $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac1k$ уходит на бесконечность (а для знакоположительных рядов это равносильно расходимости), существует подпоследовательность $n_k$, по которой $S_{n_{k+1}}-S_{n_{k}}\geqslant1$. Теперь достаточно выбрать $\varepsilon_n$ постоянным на каждом участке между соседними $n_k$ и стремящимся к нулю настолько медленно, что расходится ряд из $\varepsilon_{n_k}$.