опыт показывает, что тот, кто придя после школы на 1 курс, не знает как раскрывать скобки, как выносить и сокращать общий множитель, как приводить к общему знаменателю и т.д. - в итоге и интегральному исчислению не может толком научиться.
Нет, это всё-таки разные вещи. Я могу об этом судить, поскольку читаю в т.ч. и на третьем-четвёртом курсе, и в т.ч. даже и у заочников. Знания у них, конечно, сугубо остаточные, т.е. никакие, и синус в квадрате они самостоятельно ни в жисть не проинтегрируют. Но вот что такое интеграл, ну хоть в принципе -- понимают. Во всяком случае, на наводящие вопросики типа "ну вам об этом тогда-то говорили; припоминаете?..." -- реагируют охотно: "да, что-то такое было...", а потом ещё и вопросы по делу задают.
А вот вчерашние школьники на любой вопрос об интегралах мгновенно встали бы в ступор (и на этот счёт опыт тоже есть). Поскольку интегральное исчисление в любой школе, кроме, может, совсем уж элитных -- не может быть ничем, кроме откровенной профанации (ну или в лучшем случае пропедевтики). Поэтому в вузах ему и обучают с абсолютного нуля.