Что такое ковектор?

[Iby]

полная производная многоаргументной функции-это ковектор?

[alcoholist]

Iby в сообщении #623901 писал(а):

полная производная многоаргументной функции-это ковектор?

говорят обычно не о ``полной производной'', а о дифференциале... да, это ковектор

если говорить функциях $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, то формальное определение такое, как я привел выше:

$$ d_vf(u)=\lim_{t\to 0}\frac{f(v+ut)-f(v)}{t}. $$

Нетрудно показать, что если предел существует, то он является линейной функцией $u$, поэтому имеем линейное отображение $d_vf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, т.е. ковектор.

[ewert]

Iby в сообщении #623893 писал(а):

но вы рассматривали градиент как вектор, а рассмотрите его как ковектор

Понятие "наискорейшего роста функции" осмысленно лишь если введена евклидова структура. И, соответственно, это понятие инвариантно лишь относительно ортогональных преобразований координат. А в этом случае разница между вектором и ковектором исчезает.

[alcoholist]

ewert в сообщении #623919 писал(а):

А в этом случае разница между вектором и ковектором исчезает

мы можем вводить разные (евклидовы, симплектические и т.д.) структуры -- каждый раз эта разница исчезает по-разному:)

[Munin]

Iby в сообщении #623840 писал(а):

а кстати, можете пояснить, почему градиент показывает направление наибольшего возрастания функции? из его определения это не очевидно

Iby в сообщении #623893 писал(а):

но вы рассматривали градиент как вектор, а рассмотрите его как ковектор

Если в пространстве нет скалярного произведения, то ковектор вообще никакого направления не показывает. Точнее, ковектор показывает направление, нормальное себе. И для ковектора градиента это будет направление постоянства функции.

-- 27.09.2012 19:40:15 --

alcoholist в сообщении #623907 писал(а):

говорят обычно не о ``полной производной'', а о дифференциале...

В разных главах математики по-разному. И дифференциал, и градиент, и внешняя производная - и всё это для скалярной функции одно и то же, или почти одно и то же. И обозначения с названиями не один-в-один соответствуют, например, $df$ где-то читается "дифференциал $f$", а где-то "производная $f$".

[alcoholist]

Munin в сообщении #624045 писал(а):

Если в пространстве нет скалярного произведения, то ковектор вообще никакого направления не показывает.

ковектор показывает направление в сопряженном пространстве))

Munin в сообщении #624045 писал(а):

Точнее, ковектор показывает направление, нормальное себе.

нормали без скалярного произведения нет -- сами же сказали...

Вероятно, Вы имели ввиду следующее: ковектор как линейное отображение $V\to\mathbb{R}$ имеет ядро -- это как раз и есть гиперплоскость в исходном пространстве, вдоль которой функция инфинитизимально постоянна (локально -- поверхность уровня)

[Munin]

alcoholist в сообщении #624070 писал(а):

ковектор показывает направление в сопряженном пространстве))

Ну это да, но в исходном - не показывает :-)

alcoholist в сообщении #624070 писал(а):

нормали без скалярного произведения нет -- сами же сказали...

Да, ваша поправка. Но я думаю, что имею право употреблять выражение "нормаль к ковектору", хотя бы и неформально, "на пальцах", даже если нет скалярного произведения - ведь не к вектору же.

[alcoholist]

Munin в сообщении #624077 писал(а):

что имею право употреблять выражение "нормаль к ковектору"

нормальную гиперплоскость

[Munin]

Ну разумеется, коразмерности 1.