Непрерывные и открытые отображения

[statistonline]

Прошу разъяснить, правильно ли я сделал выводы из следующих утверждений:
1. Необходимость и достаточность условия непрерывности отображения $g$ пространства $R$ в пространство $R'$:Если $G'$ - произвольная область в пространстве $R'$, то полный прообраз ее $G=g{}^{-1}(G')$ также есть область. То есть непрерывное отображение области есть область.
2. Определение: отображение $f$ топологического пространства $R$ в топологическое пространство $R'$ называется открытым, если всякая область $U$ пространства $R$ переходит при отображении $f$ в область.
Вывод: непрерывное отображение является открытым отображением. Это верно или нет?

[Oleg Zubelevich]

нет

[alcoholist]

statistonline в сообщении #623838 писал(а):

То есть

не то же самое)

[statistonline]

alcoholist в сообщении #623868 писал(а):

statistonline в сообщении #623838 писал(а):

То есть

не то же самое)

То есть область при непрерывном отображении не переходит в область?

[ewert]

statistonline в сообщении #623880 писал(а):

То есть область при непрерывном отображении не переходит в область?

statistonline в сообщении #623838 писал(а):

полный прообраз ее $G=g{}^{-1}(G')$ также есть область. То есть непрерывное отображение области

Какое отношение (формально) свойства прообраза имеют к свойствам образа?...

[Oleg Zubelevich]

Я конечно не педагог , но когда ленивый студент уж совсем не хочет думать сам, его можно отпустить с контрпримером.

Берем $y=x^3-x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ вопрос: куда переводит эта функция область $(-1,1)$?

[statistonline]

ewert в сообщении #623884 писал(а):

statistonline в сообщении #623880 писал(а):

То есть область при непрерывном отображении не переходит в область?

statistonline в сообщении #623838 писал(а):

полный прообраз ее $G=g{}^{-1}(G')$ также есть область. То есть непрерывное отображение области

Какое отношение (формально) свойства прообраза имеют к свойствам образа?...

В данной ситуации следующее отношение: мы тем самым указываем критерий непрерывности отображения.

[ewert]

statistonline в сообщении #623922 писал(а):

мы тем самым указываем критерий непрерывности отображения.

Критерий Вы указали ранее, и там речь шла исключительно о прообразах. А потом зачем-то легко и непринуждённо переключились на образы. Какое отношение они имеют к делу?...

[statistonline]

Oleg Zubelevich в сообщении #623892 писал(а):

Я конечно не педагог , но когда ленивый студент уж совсем не хочет думать сам, его можно отпустить с контрпримером.

Берем $y=x^3-x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ вопрос: куда переводит эта функция область $(-1,1)$?

во множество $[-\frac{2}{\sqrt{27}};\frac{2}{\sqrt{27}}]$

[Oleg Zubelevich]

ну и что Вам еще нужно?

[alcoholist]

statistonline в сообщении #623927 писал(а):

во множество $[-\frac{2}{\sqrt{27}};\frac{2}{\sqrt{27}}]$

оно является областью?

[statistonline]

alcoholist в сообщении #623930 писал(а):

statistonline в сообщении #623927 писал(а):

во множество $[-\frac{2}{\sqrt{27}};\frac{2}{\sqrt{27}}]$

оно является областью?

Нет, не является. То есть надо так: непрерывное отображение области - это область, но не всякий прообраз области - это область? И тогда, получается, непрерывное и открытое отображения - совершенно разные понятия, но возможны случаи, когда отображение является и тем, и другим?

-- 27.09.2012, 14:14 --

ewert в сообщении #623924 писал(а):

statistonline в сообщении #623922 писал(а):

мы тем самым указываем критерий непрерывности отображения.

Критерий Вы указали ранее, и там речь шла исключительно о прообразах. А потом зачем-то легко и непринуждённо переключились на образы. Какое отношение они имеют к делу?...

Я вроде понял. Машина может быть зеленой и иностранной, но "зеленый" и "иностранный" - не вполне связанные понятия.

[alcoholist]

statistonline в сообщении #623933 писал(а):

То есть надо так: непрерывное отображение области - это область, но не всякий прообраз области - это область?

вы путаете образ и прообраз

[statistonline]

alcoholist в сообщении #623942 писал(а):

statistonline в сообщении #623933 писал(а):

То есть надо так: непрерывное отображение области - это область, но не всякий прообраз области - это область?

вы путаете образ и прообраз

Образ - это элемент множества $G'$, прообраз - элемент множества $G$. Как их можно путать?

[alcoholist]

statistonline в сообщении #623927 писал(а):

во множество $[-\frac{2}{\sqrt{27}};\frac{2}{\sqrt{27}}]$

в приведенном примере образ, или прообраз?