Изоморфизм, собственные функции оператора.

[champion12]

Здравствуйте. Возникли некоторые вопросы, помогите, пожалуйста, разобраться.

1)

Доказать, что оператор дифференцирования $D$ устанавливает изоморфизм между линейным пространством тригонометрических полиномов.

$L_1=\text{л.о.}\{\sin t, \sin(2t), ....,\sin(nt)\}$

$L_2=\text{л.о.}\{\cos t, \cos(2t), ....,\cos(nt)\}$

Найти матрицы операторов $D$ и $D^{-1}$ в паре базисов: $\{\sin t, \sin(2t), ....,\sin(nt)\}$ и $\{\cos t, \cos(2t), ....,\cos(nt)\}$

===========================================

Я понимаю, что $(a_1\sin t+a_2\sin(2t)+...+a_n\sin(nt))'=b_1\cos x+b_2\cos(2x)+...+b_n\cos(nx)$

$\{a_n\},{b_n}$ - некие константы

Верно и $(c_1\cos x+c_2\cos(2x)+...+c_n\cos(nx))'=d_1\sin x+d_2\sin(2x)+...+d_n\sin(nx)$

А что дальше и что такое л.о.

2)

Найти собственные функции и собственные значения дифференциального оператора $A:H^{(n)}\to H^{(n)}$

$H^{(n)}$ - пространство многочленов вида $\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}y^k$. При этом, действие оператора на элемент пространства $H^{(n)}$ задано следующей формулой:

$A(p)=x\cdot \dfrac{\partial p}{\partial x}-y\cdot \dfrac{\partial p}{\partial y}$
=====================================

Попытка

$Ap=\lambda p$

$$Ap=x\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^na_k(n-k)x^{n-k-1}y^k+y\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^na_kk\cdot x^{n-k}y^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(n-k)x^{n-k}y^k+ \displaystyle\sum_{k=0}^na_kk\cdot x^{n-k}y^{k}=\lambda \displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}y^k$$

То есть $\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\cdot n\cdot x^{n-k}y^k=\lambda \displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}y^k$

А как дальше, что нужно еще сделать?

[SpBTimes]

1) л.о - линейная оболочка.
Запишите для начала матрицу оператора. Дальше все будет очевидно
2) Ну посмотрите же, когда достигается равенство (учитывая, что x, y - любые)

[ИСН]

2) Между половинками оператора - минус или плюс? Да или нет?

[champion12]

Спасибо.

2) Условие верно, знак перепутал.

$$Ap=x\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^na_k(n-k)x^{n-k-1}y^k-y\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^na_kk\cdot x^{n-k}y^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(n-k)x^{n-k}y^k- \displaystyle\sum_{k=0}^na_kk\cdot x^{n-k}y^{k}=\lambda \displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}y^k$$

$\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\cdot (n-2k)\cdot x^{n-k}y^k=\lambda \displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}y^k$

Если выбрать за базиc $x^{n-k}y^k$, то все функции будут собственными. А собственные числа $n-2k$

1) А как найти эту матрицу -- в этом для меня проблема. Если ее определитель -- не ноль, то будет изоморфизм.

Что-то мне не придумать матрицу А, такую, чтобы выполнялось соотношение

$A\cdot \begin{pmatrix} \sin x \\ .... \\ \sin(kx) \\ .... \\ \sin(nx) \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos x \\ .... \\ k\cos(kx) \\ .... \\ n\cos x \\ \end{pmatrix}$

[ИСН]

1) Да, такой матрицы ещё поискать... А что, собственно, значат слова "оператор дифференцирования"? Это просто название, вроде как "оператор трамвая", или несёт какой-то смысл?

[champion12]

ИСН в сообщении #622914 писал(а):

1) Да, такой матрицы ещё поискать... А что, собственно, значат слова "оператор дифференцирования"? Это просто название, вроде как "оператор трамвая", или несёт какой-то смысл?

Дифференциальный оператор (вообще говоря, не непрерывный, не ограниченный и не линейный) — оператор, определённый некоторым дифференциальным выражением и действующий в пространствах (вообще говоря, векторнозначных) функций (или сечений дифференцируемых расслоений) на дифференцируемых многообразиях, или в пространствах, сопряжённых к пространствам этого типа.

[ИСН]

-- Пн, 2012-09-24, 15:23 --

а, хотя вот.

champion12 в сообщении #622949 писал(а):

определённый некоторым дифференциальным выражением

Так что за выражение-то в нашем случае?

[champion12]

ИСН в сообщении #622955 писал(а):

определённый некоторым дифференциальным выражением ..Так что за выражение-то в нашем случае?

$D=\dfrac{d}{dt}$

[ИСН]

Так... И во что же этот оператор переводит $\sin t$?

[champion12]

$D(\sin t)=\cos t$

$D(\sin(2t))=2\cos(2t)$

..........................

$D(\sin(kt)=k\cos(kt)$

..........................

$D(\sin(nt)=n\cos(nt)$

То есть $D$ переводит $L_1\to L_2$

$\sin(kt)\to k\cos (kt)\;\;\;\;\;\;\;\;i=\overline{1,n}$

[champion12]

У меня еще есть вот такое предположение:

$\begin{pmatrix} 1&0&...&...&0 \\ 0&2&0&...&0 \\ ...&....&....&....&... \\ 0&...&k&...&0 \\ 0&...&...&...&n\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos x \\ .... \\ \cos(kx) \\ .... \\ \cos(nx) \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos x \\ .... \\ k\cos(kx) \\ .... \\ n\cos x \\ \end{pmatrix}$

\operatorname{det}A=n!\ne 0

Верно?

[Dan B-Yallay]

А почему косинусы переходят обратно в косинусы?

[champion12]

Dan B-Yallay в сообщении #623300 писал(а):

А почему косинусы переходят обратно в косинусы?

А должно быть так? Только координаты?

$\begin{pmatrix} 1&0&...&...&0 \\ 0&2&0&...&0 \\ ...&....&....&....&... \\ 0&...&k&...&0 \\ 0&...&...&...&n\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ .... \\ 1 \\ .... \\ 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ .... \\ k \\ .... \\ n \\ \end{pmatrix}$

[alcoholist]

champion12 в сообщении #623767 писал(а):

А должно быть так? Только координаты?

$\begin{pmatrix} 1&0&...&...&0 \\ 0&2&0&...&0 \\ ...&....&....&....&... \\ 0&...&k&...&0 \\ 0&...&...&...&n\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ .... \\ 1 \\ .... \\ 1 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ .... \\ k \\ .... \\ n \\ \end{pmatrix}$

Должно быть $A(e_i)=\sum_j A^j_i u_j$, где $\{e_i\}$ -- базис первого пространства, а $\{u_j\}$ -- базис второго

[champion12]

alcoholist в сообщении #623792 писал(а):

Должно быть $A(e_i)=\sum_j A^j_i u_j$, где $\{e_i\}$ -- базис первого пространства, а $\{u_j\}$ -- базис второго

Но ведь у нас

$A=D\;\;\;\;\;\;e_i=\sin(ix)\;\;\;\;\;\;\;\;u_j=\cos(nx)$

$D(\sin(ix))=i\cos(ix)$

Отсюда и получается

$\begin{pmatrix} 1&0&...&...&0 \\ 0&2&0&...&0 \\ ...&....&....&....&... \\ 0&...&k&...&0 \\ 0&...&...&...&n\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos x \\ .... \\ \cos(kx) \\ .... \\ \cos(nx) \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos x \\ .... \\ k\cos(kx) \\ .... \\ n\cos x \\ \end{pmatrix}$

Или не так?