последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.
Вот это утверждение нужно четко сформулировать и доказать.
Слово 'превращается' математического смысла не имеет
Полностью с этим согласен, поэтому выделю отдельно теорему по ПСВ и отдельно теорему по простым числам, где будет описан этот переход. Сначала теорема о ПСВ.
Количественные оценки некоторых кортежей чисел в последовательности ПСВ и простых чиселРассмотрим приведенную систему вычетов по модулю

- ПСВ(m), где

- простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:

(1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:

(2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:

(3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".
средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:

(4), где r>k+1.
Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности в ПСВ(m).
Теорема

, где

- число указанных кортежей из k чисел не более действительного x в ПСВ(m).
Доказательство
Рассмотрим

, где

, а m достаточно большое число.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение

:

.
Используем формулу:

, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:

.
Потенциируем и получаем:

.
Следовательно,

(5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных кортежей в ПСВ(m):

(6), где

.
Лемма
Пусть

,

и

, то

(6.1) или

(6.2).
Доказательство
Рассмотрим (6.1). Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Так как

,

и производная и числителя и знаменателя существуют, то найдем (6.1) по правилу Лопиталя:

.
На основании

следует, что

.
Следовательно,

(6.1) или

.
На основании указанной леммы предел отношения:

(7).
Следствие
Из формулы (7) и определения асимптотики функций следует:

, (8)
где

, а m достаточно большое число.
При

(8.1).
Поэтому число кортежей в ПСВ(m) от x до m определяется асимптотической формулой:

(8.2).
Продолжение следует.