Четыре черепахи

[Ktina]

В вершинах квадрата со стороной 1 сидят черепахи Ксюша, Кацечка, Марго и Машуля. В определённый момент времени они начинают двигаться следующим образом: Ксюша ползёт прямо на Кацечку, постоянно меняя своё направление, Кацечка ползёт прямо на Марго и т.д.. По каким траекториям будут двигаться черепахи? Когда они встретятся?

[_Ivana]

На взгляд первой секунды - ползут по каким-то спиралям, возможно даже логарифмическим. Если модули скорости всех черепах одинаковы и постоянны (о чем совершенно не сказано в условии), то будут сходиться квадратом к центру исходного квадрата, не встретятся похоже никогда (при бесконечно малых размерах)

[Ktina]

_Ivana в сообщении #619714 писал(а):

На взгляд первой секунды - ползут по каким-то спиралям, возможно даже логарифмическим. Если модули скорости всех черепах одинаковы и постоянны (о чем совершенно не сказано в условии), то будут сходиться квадратом к центру исходного квадрата, не встретятся похоже никогда (при бесконечно малых размерах)

Подразумевается, что скорости всех черепах равны между собой и постоянны.
Вообще, задача не моя: http://www.ic.omskreg.ru/olympiads/Misc/Ursib1.htm (задача 19).

[Руст]

Встретятся, если скорость постоянная, они ведь остаются всегда на вершинах некоторого квадрата, сторона которого уменьшается и он вращается.

[arseniiv]

Составляете 4 уравнения:

$$\frac{d\mathbf r_i}{dt} = v\frac{\mathbf r_{i'} - \mathbf r_i}{|\mathbf r_{i'} - \mathbf r_i|} ,$$

и…

[_Ivana]

Цитата:

Встретятся, если скорость постоянная, они ведь остаются всегда на вершинах некоторого квадрата, сторона которого уменьшается и он вращается.

Все правильно, даже картинки такие были модны в 80-х годах прошлого века. Только это не доказывает встречу - стороны квадрата могут уменьшаться бесконечно сходящейся к нулю последовательностью, так и не достигающей нуля.

[Руст]

arseniiv в сообщении #619727 писал(а):

Составляете 4 уравнения:

$$\frac{d\mathbf r_i}{dt} = v\frac{\mathbf r_{i'} - \mathbf r_i}{|\mathbf r_{i'} - \mathbf r_i|} ,$$

и…

Зачем такое уравнение, достаточно знать, что радиальная скорость составляет всегда $\frac{v}{\sqrt 2}$ и вычисляйте когда встретятся.

[EtCetera]

См. тему про улиток.

[arseniiv]

Руст в сообщении #619732 писал(а):

Зачем такое уравнение

Это я пошутил.

[Ktina]

EtCetera в сообщении #619738 писал(а):

См. тему про улиток.

Официальное решение про черепах - здесь (стр. 99).

[yk2ru]

Смотрите в теме про квадрат и четырёх жуков: topic19074.html

[TOTAL]

Ktina в сообщении #619746 писал(а):

Официальное решение про черепах - здесь (стр. 99).

Из "здесь":
4.4. Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 см. расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между любыми двумя меньше, чем 1 см. (стр.100)

Задача 4.3. такая же.

[Руст]

TOTAL в сообщении #619948 писал(а):

4.4. Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 см. расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между любыми двумя меньше, чем 1 см. (стр.100)

Задача 4.3. такая же.

Это же глупость, по видимому хотели сказать, что найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 1.