2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квадрат и четыре жука.
Сообщение11.01.2009, 21:50 


03/10/06
826
Четыре жука одновременно начали ползти из вершин квадрата $ABCD$ со стороной $a$ с одинаковой скоростью $v$. Жук , стартовавший из вершины $A$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $B$. Также жук , стартовавший из вершины $B$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $C$. Также жук , стартовавший из вершины $C$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $D$. И также жук , стартовавший из вершины $D$, ежемоментно ползёт строго в сторону жука, стартовавшего из вершины $A$. Какое расстояние проползёт каждый из жуков, пока они не встретятся?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2009, 23:29 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Легко решается через нахождение скорости сближения двух соседних жуков, как и аналогичная задача с треугольником вместо квадрата.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.01.2009, 11:06 


23/01/07
3415
Новосибирск
Векторное сложение скоростей двух соседних жуков.
А вот траектория, на мой взгляд, Архимедова спираль. :?:

Добавлено спустя 26 минут 25 секунд:

Нет, траектория - логарифмическая спираль.

В любой момент времени положение жуков определяется, как вершины правильного многоугольника. Радиус-вектор спирали лежит на биссектрисе угла такого многоугольника. Вектор скорости (касательная к траектории) - под постоянным углом к биссектрисе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.01.2009, 21:27 


03/10/06
826
В каждый момент времени жуки находятся на вершинах чуть меньшего квадрата, так ведь?

Осталось разве что написать формулы для затраченного времени и пройденного расстояния, обобщив это дело на правильные многоугольники (для 3, 4, 5 и т.д. сторон).

А вид кривой/траектории зависит ли от количества сторон?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2009, 09:27 


23/01/07
3415
Новосибирск
maxal на примере правльного треугольника и я отметили то, что необходимо сложить вектора скоростей двух соседних жуков.
В случае, когда в основе задачи лежит правильный многоугольник - квадрат, то т.к. вектора скоростей соседних жуков перпендикулярны, то векторная сумма их скоростей по одному из рассматриваемых направлений равна $ v $.
Следовательно, расстояние $a$ между жуками сократится до нуля за время $ t=\dfrac {a}{v} $.

Да. Вид траектории зависит от количества сторон правильного многоугольника, а точнее, от половины угла между соседними его сторонами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2009, 11:41 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Батороев писал(а):
Следовательно, расстояние $a$ между жуками сократится до нуля за время $ t=\dfrac {a}{v} $.

Да. Вид траектории зависит от количества сторон правильного многоугольника, а точнее, от половины угла между соседними его сторонами.

Для n жуков радиальная скорость в сторону центра равна $v\sin\frac{\pi}{n}$. а сторона многоугольника $a=2R\sin\frac{\pi}{n}$, поэтому необходимое время до встречи есть
$\frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2v}$, т.е. в два раза меньше (когда жук проходит половину стороны они все встречаются).
Вид траектории один и тот же (спираль) с точностью до коэффициента радиального сжатия.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2009, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Руст писал(а):
поэтому необходимое время до встречи есть
$\frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2v}$, т.е. в два раза меньше (когда жук проходит половину стороны они все встречаются).
Вид траектории один и тот же (спираль) с точностью до коэффициента радиального сжатия.

$$t=\frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}}=\frac{a}{2v \sin^2\frac{\pi}{n}}$$ - настоящий жук ползёт медленно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2009, 20:58 


03/10/06
826
Эта формула для времени даст правильный результат и для $n = 2$, когда жуки ползут друг другу на встречу. Только вот траектория уже не спираль.
Векторно скорости складываем или всё же вычитаем?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2009, 11:17 


23/01/07
3415
Новосибирск
yk2ru писал(а):
Векторно скорости складываем или всё же вычитаем?

Скажем вернее.
"Находим скорость сближения жука 1 к жуку 2".
Согласно преобразованиям Галилея:
Если скорость жука 1 в системе отсчета "земля" была $\vec v_1 $, а скорость системы отсчета "жук 2" относительно системы отсчета "земля" $\vec v_2 $, то скорость жука 1 при переходе в систему отсчета "жук 2" равна $ v' = \vec v_1 - \vec v_2 $. :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group