Ссылки на примеры "несамосопряжённых" разложений

[armez]

Пусть $A$ - симметрический (или, эрмитов), но не самосопряжённый оператор в некотором гильбертовом пространстве $H$ , а $\left\{ \varphi_n(x) \right\}\limits_{n=1}^{\infty}$ - ортонормированная система его собственных функций. Тогда нельзя утверждать, что она является полной в $H$ , и ортогональное дополнение $H_1$ (замыкания) её линейной оболочки может быть непустым, так что разложение произвольного элемента $h \in H$ может иметь вид

$$h = \sum_{n=1}^{\infty}c_n \varphi_n(x)+\sum_{m=1}^{M}h_m \psi_m(x),$$

где $\left\{ \psi_m(x) \right\}\limits_{m=1}^{M}$ - некоторый базис в $H_1$.

Вопрос: где можно найти ссылки на простые примеры таких разложений? Нужно, чтобы $A$ порождался дифференциальной операцией (желательно, дифференцированием первого и второго порядка - т.е. два примера) на конечном промежутке (например, для $H=L^2[0,1]$) и несамосопряжёнными (например, однородными) граничными условиями, и чтобы подпространство $H_1$ было одномерным (в крайнем случае - конечномерным).

(Оффтоп)

Конечно, нетрудно самостоятельно построить такие примеры, но появилась необходимость дать ссылку на что-то "классическое".

[ewert]

armez в сообщении #615804 писал(а):

Нужно, чтобы $A$ порождался дифференциальной операцией (желательно, дифференцированием первого и второго порядка - т.е. два примера) на конечном промежутке (например, для $H=L^2[0,1]$) и несамосопряжёнными (например, однородными) граничными условиями, и чтобы подпространство $H_1$ было одномерным (в крайнем случае - конечномерным).

Симметричный оператор однократного дифференцирования если не самосопряжён, то является оператором с двумя граничными условиями Дирихле (или его сужением); у такого оператора собственных функций нет вообще. Для двукратного дифференцирования ситуация помягче, но ненамного. Там "минимально определённый" симметричный оператор задаётся четырьмя граничными условиями: двумя Дирихле и двумя Неймана, и у него тоже, естественно, собственных функций нет. Индексы дефекта такого оператора равны двум, поэтому и все его самосопряжённые расширения наперечёт и явно выписываются. Любое симметричное, но несамосопряжённое расширение получается из какого-то самосопряжённого дополнительным наложением одного дополнительного граничного условия, а такое вмешательство слишком уж грубо режет набор собственных функций -- потерей лишь одной или нескольких не отделаешься. В лучшем случае удастся сохранить, скажем, половину собственных функций (например, добавив к двум условиям только Дирихле ещё и периодическое условие на производные).

В общем так: при снятии самосопряжённости с сохранением симметричности достаточно естественной является потеря лишь нескольких функций в образе оператора и, напротив, совсем неестественной -- потеря лишь нескольких собственных функций.

[armez]

ewert, спасибо за ответ по теме.

Цитата:

Симметричный оператор однократного дифференцирования если не самосопряжён, то является оператором с двумя граничными условиями Дирихле (или его сужением)

Допускаются также граничные условия, связывающие значения функции и/или её производной на разных концах, и существует однопараметрическое семейство именно таких самосопряжённых расширений. Этот пример встречается часто (например: М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряжённость. Х.1. Расширения симметрических операторов, Пример 1).

Цитата:

...все его самосопряжённые расширения наперечёт и явно выписываются...

Конечно, выписываются. Дело лишь в том, что понадобилось дать ссылку на место, в котором это уже проделано. Не ослабевает поток новых публикаций, в которых строятся самосопряжённые расширения различных конкретных дифференциальных операторов, но понадобилось что-то "фундаментальное" и наглядное.

(Оффтоп)

Человек не очень воспринимает рассуждения, но верит ссылкам.

В любом случае, спасибо за ответ.

[ewert]

armez в сообщении #615843 писал(а):

Допускаются также граничные условия, связывающие значения функции и/или её производной на разных концах, и существует однопараметрическое семейство именно таких самосопряжённых расширений.

Вот именно. Но любое такое расширение -- это расширение именно задачи Дирихле, у которой собственных функций нет вовсе.

armez в сообщении #615843 писал(а):

но понадобилось что-то "фундаментальное" и наглядное.

Ну не бывает "фундаментальных примеров", и те же Рид с Саймоном тут наверняка не оригинальны, но при этом вряд ли ссылались в замечаниях на первоисточник, как это они любят (лень проверять).

[armez]

Цитата:

Но любое такое расширение -- это расширение именно задачи Дирихле, у которой собственных функций нет вовсе.

Потому-то этот пример и не устраивает.

Цитата:

Ну не бывает "фундаментальных примеров"

Я имел в виду не пример, а источник (книга - подходит, статья - нет).

Цитата:

вряд ли ссылались в замечаниях на первоисточник

Не поленитесь взглянуть - они ссылаются на себя же

[theambient]

ewert в сообщении #615830 писал(а):

Для двукратного дифференцирования ситуация помягче, но ненамного. Там "минимально определённый" симметричный оператор задаётся четырьмя граничными условиями: двумя Дирихле и двумя Неймана

Позвольте нубский вопрос. Правильно ли я понимаю, что сопряженный оператор для такого определен на всем пространстве $L_2[0,1]$? Как-то это удивляет.

[armez]

Если этот вопрос адресован не только автору цитаты, то могу предположить, что рассматривалось только подмножество $D_0$ тех функций из $L^2[0,1]$, для которых f'' \in L^2[0,1]$ (в обобщённом смысле). При этом под минимальным оператором $A_0$ двукратного дифференцирования понимался оператор, заданный на множестве

$$D(A_0) = \left \{ f \mid f\ \in D_0, f(0)=f'(0)=f(1)=f'(1)=0 \right \}.$$

Тогда областью определения сопряжённого оператора будет всё множество $D_0$.

При других подходах в качестве $D(A_0)$ можно брать множество $C_0^2[0,1]$ дважды непрерывно дифференцируемых функций с носителем на интервале (0,1) (или даже $C_0^{\infty}[0,1]$), но получающийся при этом оператор оказывается незамкнутым, а процедура замыкания может приводить ко множеству функций с абсолютно непрерывными слабыми производными (кстати, иногда сразу рассматривают только такие функции).

В любом случае оператор, сопряжённый минимальному, оказывается определённым на множестве функций, подчинённых определённым требованиям дифференцируемости, но без каких-либо граничных условий.

ewert, пожалуйста, поправьте меня, если имели в виду что-то другое.

[theambient]

armez, спасибо.

Да, я неявно (не задумываясь, если честно) предполагал дважды дифференцируемость функций и под "определен на всем пространстве $L_2[0,1]$" подразумевались классически дважды непрерывно-дифференцируемые функции (почему кстати непрерывно?).

С учетом этого получается, что оператор определен не на всем $L_2$ (== не обязан быть самосопряженым, хотя может быть это и так ) и удивление вроде как пропадает.

[ewert]

armez в сообщении #616682 писал(а):

пожалуйста, поправьте меня, если имели в виду что-то другое.

Нет, всё ровно так, за исключением одного:

armez в сообщении #616682 писал(а):

множеству функций с абсолютно непрерывными слабыми производными

Тут какая-то терминологическая или путаница, или неаккуратность: речь должна идти о функциях, имеющих квадратично суммируемые вторые обобщённые производные. Т.е., поскольку случай одномерный, фактически это сводится к следующему: сама функция должна быть непрерывно дифференцируема, причём её первая производная должна быть непрерывна абсолютно, и вторая производная должна быть интегрируема с квадратом.

theambient в сообщении #616693 писал(а):

оператор определен не на всем $L_2$ (== не обязан быть самосопряженым, хотя может быть это и так )

Нет, самосопряжённость равносильна полноте области определения только для ограниченных операторов. Операторы же дифференцирования заведомо неограниченны, поэтому их области определения в любом случае меньше, чем всё пространство. Для неограниченных операторов отличие самосопряжённости от просто симметричности не в областях определения, а в образах: в самосопряжённом случае образ оператора $A-\lambda I$ при невещественных $\lambda$ должен совпадать со всем пространством; если же это не так, то оператор всего лишь симметричен (если симметричен).

[theambient]

ewert в сообщении #616876 писал(а):

Нет, самосопряжённость равносильна полноте области определения только для ограниченных операторов. Операторы же дифференцирования заведомо неограниченны, поэтому их области определения в любом случае меньше, чем всё пространство. Для неограниченных операторов отличие самосопряжённости от просто симметричности не в областях определения, а в образах: в самосопряжённом случае образ оператора при невещественных должен совпадать со всем пространством или быть как минимум плотным.

Еще читать и читать.

ewert в сообщении #616876 писал(а):

Для неограниченных операторов отличие самосопряжённости от просто симметричности не в областях определения, а в образах

разве первое не определяет второе?

Мне непонятно, зачем вообще рассматривать невсюду определенный оператор, когда его можно сузить и не задумываться "с какого перрона уходит поезд".

[armez]

ewert, "слабая производная" и "обобщённая производная" - синонимы. Просто термин "обобщённая" более "теоретико-функциональный", а термин "слабая" - более "теоретико-операторный", если можно так выразиться, и когда речь идёт об операторах в функциональных пространствах, могут использоваться наравне. Кстати, за примером можно снова обратиться к Риду и Саймону (там же, пример 2).

Цитата:

самосопряжённость равносильна полноте области определения только для ограниченных операторов

Может быть, имелась в виду не "равносильность полноте", а то, что самосопряжённый оператор, определённый на всём пространстве, является с необходимостью ограниченным? Но только с необходимостью, либо имелись в виду только симметрические операторы.

Цитата:

Для неограниченных операторов отличие самосопряжённости от просто симметричности не в областях определения ...

Вообще-то, в определении самосопряжённого оператора (в самом общем случае) утверждается именно это. Возможно, снова имелось в виду что-то другое.

theambient, рассматривать невсюду определенный оператор приходится просто потому, что для неограниченных операторов нет другого выхода.

ewert, theambient, спасибо за такой интерес к теме.

[ewert]

theambient в сообщении #616890 писал(а):

разве первое не определяет второе?

Мне непонятно, зачем вообще рассматривать невсюду определенный оператор, когда его можно сузить

Нет, первое никак не определяет второго. Последняя фраза принципиально бессмысленна: есть операторы, области определения которых в принципе невозможно расширить без потери их свойств (а именно те свойства и представляют практический интерес).

armez в сообщении #616914 писал(а):

Может быть, имелась в виду не "равносильность полноте", а то, что самосопряжённый оператор, определённый на всём пространстве, является с необходимостью ограниченным?

Нет, здесь имелся в виду факт гораздо более грубый: симметричный ограниченный оператор определён, если говорить по существу, всегда на всём пространстве -- поскольку его всегда можно доопределить на всё пространство по непрерывности. То, что имеете в виду Вы -- обсуждалось дальше. (Хотя не спорю: моя логика, будучи правильной формально, стилистически была действительно не очень хороша; я вообще-то об этом думал, но додумывать было лень.)

armez в сообщении #616914 писал(а):

Вообще-то, в определении самосопряжённого оператора (в самом общем случае) утверждается именно это.

Нет, там тверждается другое -- равенство областей определения прямого и сопряжённого. Я имел в виду критерий самосопряжённости (хотя бы в существенном), а он с точки зрения практической проверки сводится именно к коразмерностям образов.

[armez]

ewert, не знаю, нужно ли, но поясню.

Цитата:

ewert
... равенство областей определения прямого и сопряжённого

- именно на это я и указывал. Следовательно, в соответствии с определением, отличие между симметрическим и самосопряжённым оператором - в областях определения оператора и его сопряжённого (у самосопряжённого они обязаны быть равны, а у симметрического - не обязаны), в то время как у Вас говорится:

Цитата:

ewert
Для неограниченных операторов отличие самосопряжённости от просто симметричности не в областях определения ...

О критериях Вы ничего не писали.

Если будут сообщения, имеющие более близкое отношение к теме, с интересом почитаю.

[g______d]

armez в сообщении #615804 писал(а):

Конечно, нетрудно самостоятельно построить такие примеры, но появилась необходимость дать ссылку на что-то "классическое".

А можно пример, когда такое вообще бывает, пусть даже вне класса дифференциальных операторов? А именно, замкнутый плотно определенный симметрический оператор, удовлетворяющий условиям из первого поста (включая конечномерность ортогонального дополнения к линейной оболочке собственных функций). У меня что-то с ходу не строится.

[armez]

g______d, у меня, собственно, тоже сходу не строится. Казалось, что где-то попадались примеры, но где именно, вспомнить не удаётся (возможно, что-то путаю). Думал, что кто-то сразу отошлёт, куда надо.