Суммирование по пустому множеству индексов

[Asker Tasker]

Пусть задано конечное множество $\Omega = \left\{ \omega_{i} \right\}_{i = 1}^{n}$. Каждому $\omega_{i} \left( i = 1, ..., n \right)$ поставлено в соответствие неотрицательное число $p \left( \omega_{i} \right)$ (так что сумма этих чисел неотрицательна).
Пусть $A \in 2^{\Omega}$. Определим функцию $P \left( A \right)$ следующим образом: $ P \left( A \right) = \sum _ { \left\{ i : ~ \omega_{i} \in A \right\}} p \left( \omega_{i} \right) $

Но что если А - пустое множество? Тогда ни одно $\omega_{i} \left( i = 1, ..., n \right)$ $A$ не принадлежит и $P\left ( A \right ) = \sum _ {\varnothing } p \left( \omega_{i} \right)$

У меня следующий вопрос: в таком случае, когда производится суммирование по пустому множеству индексов, мы считаем, что сумма не определена или полагаем её равной нулю?

Заранее спасибо.

[apriv]

Asker Tasker в сообщении #615233 писал(а):

У меня следующий вопрос: в таком случае, когда производится суммирование по пустому множеству индексов, мы считаем, что сумма не определена или полагаем её равной нулю?

Сумма по пустому множеству индексов равна нулю.

[Asker Tasker]

Спасибо!
Теперь буду знать.

[Day]

apriv в сообщении #615236 писал(а):

Asker Tasker в сообщении #615233 писал(а):

У меня следующий вопрос: в таком случае, когда производится суммирование по пустому множеству индексов, мы считаем, что сумма не определена или полагаем её равной нулю?

Сумма по пустому множеству индексов равна нулю.

Это легко понять, написав алгоритм вычисления суммы на любом языке программирования. В любом случае первым оператором там будет S = 0. А отсутствие проходов цикла суммирования к нему ничего не прибавит.
Точно также, произведение пустого множества чисел = 1

[Asker Tasker]

Day в сообщении #615314 писал(а):

Это легко понять, написав алгоритм вычисления суммы на любом языке программирования. В любом случае первым оператором там будет S = 0. А отсутствие проходов цикла суммирования к нему ничего не прибавит.
Точно также, произведение пустого множества чисел = 1

Спасибо!

[Sonic86]

Или так: $0=\sum\limits_{a\in M}f(a)-\sum\limits_{a\in M}f(a)=\sum\limits_{a\in\varnothing}f(a)$.

[Asker Tasker]

Sonic86 в сообщении #615355 писал(а):

Или так: $0=\sum\limits_{a\in M}f(a)-\sum\limits_{a\in M}f(a)=\sum\limits_{a\in\varnothing}f(a)$.

Нужно ли нам для использования этого равенства знать, что
$\sum _{x \in \left( A \bigcup B \right)} = \sum_{x \in A } + \sum_{x \in B} ~ ~ if ~ ~ A \bigcap B = \varnothing$ ?

[arseniiv]

Можно использовать это, а можно другое. Например, симметрическую разность и выражение для неё.

Кстати,

Asker Tasker в сообщении #615233 писал(а):

$ P \left( A \right) = \sum _ { \left\{ i : ~ \omega_{i} \in A \right\}} p \left( \omega_{i} \right) $

это очень неудобное определение, вот такое: $P(A) = \sum_{a\in A} p(a)$ — будет проще (и, кажется мне, правильнее — тут индексы ни при чём).