Теория вероятностей

[kozachka]

Вечер добрый, форумчане! Классическая задачка из теории вероятностей на комбинаторику что-то поставила в ступор.
В урне 7 белых, 5 синих и 8 зеленых шаров. Из урны последовательно извлекли 6 шаров. найти вероятность того, что среди извлеченных два шара одного цвета.
Есть очевидное вроде бы решение:
$p(A)=(A^2_7 \cdot A^4_{13} + A^2_5 \cdot A^4_{15} + A^2_8 \cdot A^4_{12})/(A^6_{20}) $
Но, во-первых, в числителе есть пересечения комбинаций, а во вторых, судя из события может все-таки использовать формулу пересечений?
Есть ли у кого какие мысли по этому поводу?

[--mS--]

А что Вы понимаете под $A_n^k$? Это не праздный вопрос, потому как при стандартном понимании этого числа, даже если просто искать вероятность того, что в выборке будут ровно два белых шара, то она никак не будет равна $\dfrac{A_7^2 A_{13}^4}{A_{20}^6}$.

Ну и разумеется, события, вероятности которых Вы хотели сложить, совместны. Нужно исключать лишнее.

[kozachka]

Я под размещением понимаю количество комбинаций, которые могу составить взяв из набора в n элементов k элементов, причем комбинации будут отличаться либо составом элементов, либо порядком их следования.

[faruk]

kozachka в сообщении #613131 писал(а):

В урне 7 белых, 5 синих и 8 зеленых шаров. Из урны последовательно извлекли 6 шаров. найти вероятность того, что среди извлеченных два шара одного цвета.

Из шести шаров два шара одного цвета. Остальные четыре шара все разноцветные, при том что для них осталось всего два цвета.

[Shtorm]

kozachka в сообщении #613131 писал(а):

Есть очевидное вроде бы решение:
$p(A)=(A^2_7 \cdot A^4_{13} + A^2_5 \cdot A^4_{15} + A^2_8 \cdot A^4_{12})/(A^6_{20}) $

Очевидно, что это решение неверное. Даже если взять первый член в числителе $A^2_7 \cdot A^4_{13}$, то количество размещений $A^4_{13}$ захватывает случаи 2 синих и 2 зелёных шара, а по условию задачи должно быть только 2 шара одного цвета. Это во-первых, а во вторых, в такой задаче с шарами следует использовать количество сочетаний $C_n^k$

[Cash]

Уже среди первых четырех шаров будут 2 одноцветных шара.

[--mS--]

kozachka в сообщении #613159 писал(а):

Я под размещением понимаю количество комбинаций, которые могу составить взяв из набора в n элементов k элементов, причем комбинации будут отличаться либо составом элементов, либо порядком их следования.

Комбинация - это что? Напишите $A_n^k=?$, будет ясно.

-- Сб сен 01, 2012 08:50:57 --

Cash в сообщении #613226 писал(а):

Уже среди первых четырех шаров будут 2 одноцветных шара.

Вы неправильно поняли условие.

[Cash]

(Оффтоп)

Я прекрасно понимаю, что нужно найти, но вопрос поставлен предельно четко и другой трактовки у него нет.

[kozachka]

$A^k_n = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) $
А если действительно, пойти от сочетаний. Ведь нам неважно в каком порядке мы вынем эти 2 белых или 2 синих или 2 зеленых шара. Тогда оставшиеся шары должны быть либо все одного другого цвета, либо 3 одного цвета и ещё 1 оставшегося.
$m(a) = C^2_7 \cdot ( C^4_5 + C^4_8 + C^3_5 \cdot C^1_8 + C^3_8 \cdot C^1_5) + C^2_5 \cdot ( C^4_7 + C^4_8 + C^3_7 \cdot C^1_8 + C^3_8 \cdot C^1_7) + C^2_8 \cdot ( C^4_5 + C^4_7 + C^3_5 \cdot C^1_7 + C^3_7 \cdot C^1_5)$
$p(a) = m(a) / (C^6_{20})$
Но что-то мне кажется, что опять получается слишком много вариантов расположения между собой выбранных шаров.
Взять к примеру вариант 2 шара белых и 4 шара синих. $C^2_7 \cdot C^4_5$ получается аж 105 вариантов расположить шары между собой. Но среди этих вариантов есть одинаковые, нам ведь неважно что вторым идет синий шар1 или синий шар 2, нам важен факт, что шар синий.
В общем в ходе выше описанных рассуждений до меня наконец дошло, что в комбинаторике учитывают набор из n различных элементов, а в этой задаче у нас есть одинаковые элементы. Так что я совсем запуталась(

[--mS--]

Cash в сообщении #613243 писал(а):

(Оффтоп)

Я прекрасно понимаю, что нужно найти, но вопрос поставлен предельно четко и другой трактовки у него нет.

Нет, не понимаете. Вы говорите, что фраза "будет два красных шара" читается как "будет как минимум два красных". По принципу "будет два красных - не будет двух красных". Я же читаю её как "будет ровно два красных шара" по принципу "будет два красных - будет не два красных". И полагаю, что именно так её следует читать.

-- Сб сен 01, 2012 16:03:33 --

kozachka в сообщении #613249 писал(а):

$A^k_n = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-k+1) $
А если действительно, пойти от сочетаний. Ведь нам неважно в каком порядке мы вынем эти 2 белых или 2 синих или 2 зеленых шара.

Дело не в том, важно или неважно. А в том, что при таком стандартном понимании $A_n^k$ вероятности выше неправильные (каждая по отдельности).

kozachka в сообщении #613249 писал(а):

Тогда оставшиеся шары должны быть либо все одного другого цвета, либо 3 одного цвета и ещё 1 оставшегося.
$m(a) = C^2_7 \cdot ( C^4_5 + C^4_8 + C^3_5 \cdot C^1_8 + C^3_8 \cdot C^1_5) + C^2_5 \cdot ( C^4_7 + C^4_8 + C^3_7 \cdot C^1_8 + C^3_8 \cdot C^1_7) + C^2_8 \cdot ( C^4_5 + C^4_7 + C^3_5 \cdot C^1_7 + C^3_7 \cdot C^1_5)$
$p(a) = m(a) / (C^6_{20})$
Но что-то мне кажется, что опять получается слишком много вариантов расположения между собой выбранных шаров.

Совершенно правильное решение. Длинное, но правильное. О каких расположениях шаров между собой речь, если порядок не учитывается?

[Cash]

Давайте проводить семантический анализ
Фразу "будет два красных шара" можно толковать двояко: и как ровно два шара и, как минимум, два шара. И толкование "ровно два шара" приводит к более содержательной задаче, поэтому можно отсечь второй вариант.
Но здесь вопрос стоял не так. Утверждение звучало среди извлеченных (6 шаров) два шара одного цвета. Если толковать как "ровно два шара одного цвета", то получается, что остальные шары разноцветные и требуется 5 цветов.
Этот вопрос нельзя никак притянуть к подразумеваемой автором фразе: есть такой цвет (ровно один или просто есть? - и здесь двоякость), что среди выбранных шаров будет ровно два этого цвета.
Чуть-чуть подправим условие задачи, оставив разбираемую фразу:
У нас есть коробка с шарами 3-х цветов. Мы вытаскиваем 4 шара. Будут ли среди извлеченных два шара одного цвета?
У вас будут сомнения в трактовке?

[Shtorm]

kozachka в сообщении #613249 писал(а):

$m(a) = C^2_7 \cdot ( C^4_5 + C^4_8 + C^3_5 \cdot C^1_8 + C^3_8 \cdot C^1_5) + C^2_5 \cdot ( C^4_7 + C^4_8 + C^3_7 \cdot C^1_8 + C^3_8 \cdot C^1_7) + C^2_8 \cdot ( C^4_5 + C^4_7 + C^3_5 \cdot C^1_7 + C^3_7 \cdot C^1_5)$
$p(a) = m(a) / (C^6_{20})$
...

Всё верно, как сказала уважаемая --mS--.

--mS-- в сообщении #613289 писал(а):

....
Совершенно правильное решение. Длинное, но правильное...

Поэтому предлагаю оптимизировать решение:

$$m(a) = C^2_7 \cdot ( C^{4}_{13} - C^2_5 \cdot C^2_8) + C^2_5 \cdot ( C^4_{15} - C^2_7\cdot C^2_8) + C^2_8 \cdot ( C^4_{12} - C^4_7 \cdot C^2_5)$$

$$p(a) = m(a) / (C^6_{20})$$

[Shadow]

Мне показалось, что первое решение ТС было "почти правильное", только заменить А на С и в числителе вычесть $2C_7^2C_5^2C_8^2$

[Shtorm]

Shadow в сообщении #613462 писал(а):

Мне показалось, что первое решение ТС было "почти правильное", только заменить А на С и в числителе вычесть $2C_7^2C_5^2C_8^2$

О! А Вы навели меня на мысль, что надо в моём "оптимальном варианте" раскрыть скобочки и привести подобные слагаемые:

$$m(a) = C^2_7 \cdot ( C^{4}_{13} - C^2_5 \cdot C^2_8) + C^2_5 \cdot ( C^4_{15} - C^2_7\cdot C^2_8) + C^2_8 \cdot ( C^4_{12} - {\color{blue}C^2_7} \cdot C^2_5) = C^2_7 \cdot C^{4}_{13} + C^2_5 \cdot C^4_{15} + C^2_8 \cdot C^4_{12}-3C_7^2C_5^2C_8^2$$

(Исправлено по просьбе автора. //AKM)

Ещё более компактное.

[--mS--]

Cash в сообщении #613307 писал(а):

Давайте проводить семантический анализ

Мне вообще-то есть чем заняться. Если Вам очень хочется заниматься ерундой, абсолютно не нужной ни ТС, ни остальным - велком.