Набор чисел

[Clayton]

Дан произвольный набор чисел $(a;b;c;d)$,где хотя бы два числа не равны друг другу,и $a,b,c,d\in Z$.На каждом шаге из предыдущего набора получается следующий с помощью такой операции:$(a;b;c;d)\Rightarrow (a-b;b-c;c-d;d-a)$.Доказать,что на сотом шагу,независимо от начального набора,одно из чисел будет больше ${ 10 }^{ 9 }$.
Кроме того,что сумма каждого набора-инвариант,ничего в голову не приходит.
Кстати,довольно интересна вещь происходит,если взять начальный набор $(0;0;0;1)$.Тогда на $n$-ом шаге сумма модулей всех чисел равна ${ 2 }^{ n }$.
Кроме этих двух фактов я как-то больше ничего и не приметил.

[ИСН]

Взял набор (1,1,1,1). Дальше не читал.

[Clayton]

ИСН в сообщении #613180 писал(а):

Взял набор (1,1,1,1). Дальше не читал.

Пардон,забыл.В начальном наборе хотя бы два числа не равные.

[ИСН]

$(0,0,0,10^{-100})$?

[Clayton]

ИСН в сообщении #613188 писал(а):

$(0,0,0,10^{-100})$?

Да,и целые Теперь вроде бы ничего не забыл.

[ИСН]

Ага. Теперь про инвариант. Обычно так называют вещь, которая не меняется при каких-то преобразованиях, а Вы что имели в виду? Берём $(1,0,0,0)$ (сумма 1) - получаем $(1,0,0,-1)$ (сумма 0).

[Clayton]

Ну сумма всех чисел,начиная с первого шага,равна нулю.

[ИСН]

А, если так, то OK.
Теперь: Вы про собственные значения матриц слышали когда-нибудь?

[Clayton]

ИСН в сообщении #613198 писал(а):

А, если так, то OK.
Теперь: Вы про собственные значения матриц слышали когда-нибудь?

Ну если совсем чуть-чуть Ну как бы что это такое-знаю.

[ИСН]

Это хорошо. Так вот, любой набор собирается из таких:
(1,-1,1,-1)
(1,-1,-1,1)
(1,1,-1,-1)
(1,1,1,1)
А это как бы собственные векторы нашего преобразования, и меняются они по простым и понятным законам.

[Clayton]

Цитата:

А это как бы собственные векторы нашего преобразования, и меняются они по простым и понятным законам.

Видимо я не настолько хорошо знаю..Вообще,изначально,интересует решение школьными методами.

[VAL]

ИСН в сообщении #613203 писал(а):

Это хорошо. Так вот, любой набор собирается из таких:
(1,-1,1,-1)
(1,-1,-1,1)
(1,1,-1,-1)
(1,1,1,1)
А это как бы собственные векторы нашего преобразования

первый и последний - точно собственные. А средние - только "как бы".

[Руст]

Вектор $(1,x,x^2,x^3), x^4=1)$ переходит в $(1-x)(1,x,x^2,x^3)$, т.е. собственный вектор с собственным значением.
Коэффициенты разложения $(a,b,c,d)=\frac{1}{4}(\sum_{l=0}^3 (a+bi^{-l}+ci^{-2l}+di^{-3l})(1,i^l,i^{2l},i^{3l}).$
Отсюда все получается.