2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Восемь точек на плоскости
Сообщение28.08.2012, 12:49 


15/05/12

359
Продолжаю решать открытые математические проблемы. Вот ещё одна идея (как всегда, я останавливаюсь там, где начинается теория чисел).

Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой, никакие четыре не лежали на одной окружности и расстояние между любыми двумя точками было целым числом?

Идея: берутся четыре точки, для которых это верно (существует же четырёхугольник с целыми сторонами и диагоналями). Пусть они образуют вершины параллелограмма (тут надо доказать, что такое возможно, а если нет, взять общий случай четырёхугольника- но тогда может не получиться) . Теперь, "сохранив копию", переносим параллелограмм параллельным переносом на расстояние, являющееся целым числом, в направлении, не перпендикулярном ни одной прямой, содержащей сторону параллелограмма; при этом это направление не должно также совпадать с направлением ни одной из сторон и ни одной из диагоналей (тогда параллелограммы, очевидно, не вписаны в окружность, и никакие три точки не лежат на одной прямой). Так как расстоние параллельного переноса одно и то же, согласно формулам, связанным с параллелограммом, получаем: $2a^2+2b^2=c^2+d^2 $; где $a$ - длина противолежащих сторон первоначального параллелограмма,$ b$-расстояние, на которое он переносится параллельным переносом, $c$,$ d$, - диагонали параллелограммов, образованных
этими сторонами, параллельными им отрезками и отрезками длиной b. Эту же формулу надо применить и для других параллелограммов.

Рассмотрите эту конструкцию-наверняка она может быть решением.
Если два этих параллелограмма- $ABCD$ и $A'B'C'D'$, и у них соблюдены все указанные условия, то надо определить, могут ли диагонали всех параллелограммов ($AB'$, $A'B$, $BC'$, $B'C$,$ DC'$, $D'C$, $DB'$, $AC'$) быть целыми числами одновременно . Вопрос о прямых и окружностях применительно к этой конструкции тогда можно опустить.

С уважением, Николай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение28.08.2012, 18:42 


15/05/12

359
Ещё более красивая идея (на случай, если та не пройдёт; может, и эта не пройдёт...). Взять параллелограмм $ABCD$, у коготорого стороны и диагонали целые, а угол между диагоналями равен $\frac{\pi}{6}$ Отметить точку их пересечения O. Затем отметить центры описанных окружностей треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$ как $O_1$,$O_2$,$O_3$,$O_4$.

У меня уже есть два доказанных ранее утверждения, рассмотрение частных случаев которых приводит к двум леммам, будет и третья.

Утверждение 1.

Условие: в четырёхугольнике $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$; для каждого из образовавшихся треугольников отмечен центр описанной окружности.

Доказать: эти центры являются вершинами параллелограмма.

Утверждение 2.
Условие: в треугольнике $ABC$ проведена чевиана $BD$, образующая со стороной $AC$ угол $ b$. Расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $ABD$ и $BDC$ равно $a$.

Доказать: $AC=2a\sin{b}$

Доказательство первого утверждения.

Решение: пусть $O_1$,$O_2$,$O_3$,$O_4$- центры описанных окружностей треугольников соотвественно $ABO$, $BOC$, $COD$ и $AOD$. $BO_2=O_2O$ и $BO_1=OO_1$, следовательно, $BO$ перпендикулярен $O_1O_2$, Аналогично, $O_3O_4$ перпендикулярен $OD$. Но $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой, следовательно, $O_1O_2$ параллелен $O_3O_4$. Аналогично, $O_2O_3 $параллелен $O_1O_4$.

Доказательство второго утверждения.

Решение: треугольник $ DO_1O_2$ подобен треугольнику $ABC$, так как, очевидно, $\angle{DO_2O_1}=\angle{DCB}$ и $\angle{O_1DO_2}=\angle{ABC} $. Тогда $AB=2R\sin{b}$,$\frac{R}{AB}=\frac{O_1O_2}{AC}$, отсюда $ 2R\sin{b}=\frac{R(AC)}{O_1O_2}$, отсюда выводится искомая формула.

Исходя из этих утверждений, можно определить, что четырёхугольник $O_1O_2O_3O_4$ нельзя вписать в окружность и что его стороны равны диагоналям параллелограмма $ABCD$ (того, что упоминался в начале). Радиусы окружностей, описанных около треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$ по усиленной теореме синусов, уже применявшейся для доказательства второго утверждения, будут целыми и и будут равны сторонам $ABCD$. (например, $\frac{AB}{\sin{AOB}}=2R$...).
Заметим, что, так как треугольники, на которые разбивает точка пересечения диагоналей данный параллелограмм, не равнобедренные, то $C$, $O_2$, $O_1$ не лежат на одной прямой. Ясно, что других троек точек, лежащих на одной прямой, тоже- в данной конструкции- не существует. Далее, $A$, $O_1$, $O_2$, $C$ не лежат на одной окружности, так как $O_1O_2=AC$ и $CO_2$ не параллелен $AO_1$ ($O_1$ находится вне треугольника $ABC$, а $O_2$ внутри). Также $O_1O_2$ не параллелен $AC$, ибо $O_1O_2$ перпендикулярен $AB$, а $AC$ не перпендикулярен. $O_1BCO_2$ не может быть вписан в окружность, поскольку противолежащие углы $BO_1O_2$ и $BCO_2$-острые. Применяя подобные рассуждения, можно, как и в прошлый раз, сказать, что осталось только проверить существование целых отрезков, соответствующих задаче. С помощью теоремы косинусов и формулы для параллелограмма можно вывести ряд условий: $2a^2+2b^2=c^2+d^2$ (1), где$ a$ и $ b$, $c$ и $d$- соотвественно стороны и диагонали рассматриваемого параллелограмма.$ a^2+b^2-ab=m$, $a^2+b^2+ab=n$. Последний штрих, вносящий сомнение в применимости конструкции: я забыл о целочисленности отреков $CO_1$, $AO_2$... и т.д. Так как $AO_1=AB$, а $\angle {O_1AO}=\frac{\pi}{2}-\angle{ABD}$ и при этом $\cos\angle {ABD}$- число рациональное, то получаем, что если $\sin\angle{ABD}$ также рационален, есть всё-таки надежда...хотя уже слабая.

С уважением, Николай.

ps Добавил минут через двадцать: можно рассмотреть не параллелограмм, а произвольный четырёхугольник, лишь бы его стороны и диагонали были целыми числами, а угол между диагоналями был равен $\frac{\pi}{6}$. Но всё равно надежда слабая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение29.08.2012, 15:19 


15/05/12

359
У меня проблема: система не отображает знак корня совсем. Поэтому написал специально неправильно и прошу администратора поправить.

Пусть надо найти четырёхугольник $ABCD$ с целыми сторонами, диагоналями и углом между ними$ \frac{\pi}{6}$.
Пусть точка пересечения диагоналей- O. Обозначим стороны $AB=a$, $BC=b$, $CD=с$, $BC=d$, диагонали $BD=e$, $AC=f$, отрезки $AO=x$, $BO=y$.
Получается система:
$x^2+y^2-xy\sqrt3=a^2 $(1),
$x^2+(e-y)^2+x(e-y)\sqrt3=b^2$ (2),
$(e-y)^2+(f-x)^2-(e-y)(f-x)\sqrt3=c^2 $(3),
$y^2+(f-x)^2+y(f-x)\sqrt3=d^2 $(4)

Вычитаем (3) из (2): $x^2-(f-x)^2+x(e-y)\sqrt {3}+(e-y)(f-x)\sqrt {3}=b^2-c^2$(5) После преобразований приходим к уравнению:
$f(2x-f)+(e-y)f \sqrt{3}=b^2-c^2$. (6) Возьмём параметр $\alpha$, такой, что$ y=\alpha\sqrt {3}$ Преобразуем уравнение (6): $f(2x-f+(e-y)\sqrt {3})=m$, где$ m=b^2-c^2$; $f$-целое, поэтому выражение $2x+e(\sqrt {3})$- должно быть целым. Можно выбрать такой $x$, что это действительно будет выполняться.

Комментарий: следует найти параметр $\alpha$.
С уважением, Николай

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение29.08.2012, 15:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4582

(Оффтоп)

Nikolai Moskvitin в сообщении #612230 писал(а):
У меня проблема: система не отображает знак корня совсем.
Корень пишется через q:
\sqrt3
$\sqrt3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение29.08.2012, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Оффтоп)

Про корень Вам уже написали, но добавлю: $\sqrt[n]{ABC}$ кодируется как \sqrt[n]{ABC}.
В формулах нельзя употреблять русские буквы. Точнее, можно, но в виде \text{русский текст}. Например: $A_{\text{низ}}^{\text{верх}}$ получается из $A_{\text{низ}}^{\text{верх}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение29.08.2012, 15:48 
Заслуженный участник


17/09/10
2132

(Оффтоп)

А я подтвержу, что параллелограммы с целыми сторонами и целыми диагоналями да еще и с целыми площадями имеются в неограниченном количестве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение30.08.2012, 16:13 


15/05/12

359
В общем, повозился немного с уравнениями и получил следующее:

Запишем: $y^2+x^2+xy \sqrt {3}=a^2$ (1)
$y^2+(f-x)^2-y(f-x) \sqrt 3=b^2$(2)
$(f-x)^2+(e-y)^2+(f-x)(e-y)\sqrt 3=c^2$(3)
$x^2+(c-y)^2-x(e-y)\sqrt 3=d^2$.(4)

Вычитаем (2) из (1) и (4) из (3) и получаем (5) и (6):

$2fx-f^2+yf\sqrt 3=a^2-b^2$(5)
$f^2-2fx+f(e-y)\sqrt 3=c^2-d^2$ (6)

Складываем (5) и (6) и получаем (7):

$ef=a^2-b^2+c^2-d^2$ (7) Если его решить, получиться решение задачи!!! Зря я так сомневался!

-- 30.08.2012, 16:34 --

Нет! Всё-таки два расстояния будут нецелыми- это, собственно говоря, $O_1O_3$ и $O_2O_4$. Даже $AO_2$-целое... Значит, это не решение... Попробуйте тогда с параллелограммами! По крайней мере, удалось доказать, что ровно $\frac{n(n-1)}{2}-2=26$ расстояний при данной конструкции могут быть целыми. Это тоже результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение30.08.2012, 16:36 


28/11/11
2884
Nikolai Moskvitin в сообщении #611681 писал(а):
Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой, никакие четыре не лежали на одной окружности и расстояние между любыми двумя точками было целым числом?

Вроде это должно быть как-то связано с теорией Рамсея...

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение30.08.2012, 17:02 


15/05/12

359
longstreet в сообщении #612616 писал(а):
Вроде это должно быть как-то связано с теорией Рамсея...


В Википедии пишут, что с помощью неё можно доказать существование, а конструктивно построить существующую систему она не даёт возможности. Мне лично вообще не очень нравится такой подход. Есть направление в математике, выступающее за конструктивное решение. Поэтому пока что надо проверить случай с параллелограммами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение30.08.2012, 17:37 


28/11/11
2884
Во-первых, насколько я знаю, нельзя так обобщать.

Во-вторых, интересующий факт, а именно "можно ли?" ни чуть не хуже может быть доказан неконструктивно. Более того, неконструктивное доказательство $-$ ближе чистой математике. Вы, кажется, не понимаете следующего. Интересующая вас задача настолько просто по формулировке и реализации проверки, что можно заставить компьютер весьма эффективно перебирать варианты построений. Думаю, если это действительно открытая проблема, это делал ни один человек, а много. Однако, если такого построения не существует, то вы так и будете перебирать варианты без остановки, а можно остановиться и подумать, а разрешима ли задача вообще и математически показать, что нет. Иногда другого и выхода нет. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение30.08.2012, 18:58 


15/05/12

359
Спасибо Вам большое! А то бы я так и продолжал
longstreet в сообщении #612647 писал(а):
перебирать варианты без остановки
. Попробую хотя бы начать изучать.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение06.09.2012, 23:33 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: много синтаксических ошибок в сообщении этом. Часть связана с использованием в формулах русской буквы О (вместо латинской O). И остальные сообщения требуют правок ("scrt").

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.09.2012, 20:09 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение09.09.2012, 15:35 


15/05/12

359
Добрый день!

Помучившись немного, получил шестнадцать условий (не считая целочисленности сторон и диагоналей четырёхугольника $ABCD$), при которых вторая конструкция работает (по поводу четырёх последних см. замечание ниже). Пусть если O- точка пересечения диагоналей, $AO=x$, $BO=y$, $AC=f$, $BD=e$, $\angle{ABO}=\alpha$, $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $AD=d$, $E$ и $G$- проекции $O_1$ и $O_2$ на $AC$ соответственно. $m_n$- любые натуральные числа.
$\frac{e^2+f^2+2ef\cos\alpha}{4\sin^2\alpha}={m_1}^2$ (1);
$\frac{e^2+f^2-2ef\cos\alpha}{4\sin^2\alpha}={m_2}^2$ (2);
$fx={m_3}^2-\frac{b^2}{4\sin^2\alpha}$(3);
$f^2-fx={m_4}^2-\frac{a^2}{4\sin^2\alpha}$(4);
$ey={m_5}^2-\frac{c^2}{4\sin^2\alpha}$(5);
$e^2-ey={m_6}^2-\frac{d^2}{4\sin^2\alpha}$(6);
Аналогичные (7),(8),(9),(10)
(11) и (12)- условия рациональности чисел $ \sin\alpha$ и $\cos\alpha$
$O_1E>2O_2G$(13) и аналогичные (14),(15),(16)

Последняя группа условий доказывается через "неподобие" треугольников $AO_2G$ и $ CO_1E$ и аналогичных пар треугольников.

С уважением, Николай
ps нашёл хорошую книгу по теории Рамсея- Грэхэма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восемь точек на плоскости
Сообщение09.09.2012, 16:33 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

Nikolai Moskvitin в сообщении #616611 писал(а):
ps нашёл хорошую книгу по теории Рамсея- Грэхэма.
По информативности последняя фраза почти эквивалентна "ps сегодня хорошо поспал". :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group