Счётно ли множество?

[Ktina]

Бесконечное множество, элементами которого являются вещественные числа, обладает тем свойством, что модуль суммы элементов любого его конечного подмножества не превышает 2012.
Следует ли отсюда, что это множество счётно?

[xmaister]

Ktina в сообщении #611765 писал(а):

Следует ли отсюда, что это множество счётно?

Следует.

[ewert]

Более того -- следует, что ряд из этих элементов сходится абсолютно.

[xmaister]

Я сравнительно недавно постил похожую задачу. У несчетного множества есть не нулевая точка кондесации, значит создадим сколь угодно большую по модулю сумму (идея mihailm).

[ewert]

xmaister в сообщении #611776 писал(а):

У несчетного множества есть не нулевая точка кондесации,

Только здесь лучше в другом направлении: множество, имеющее ненулевую предельную точку, заведомо не удовлетворяет условиям задачи; а если предельная точка у множества только одна, то оно счётно.

[gris]

Множество ограничено $\pm 2012$. У бесконечного ограниченного множества есть предельная точка. Допустим, что их две. Одна не равна нулю, следовательно в ней можно набрать сколь угодно большую (по модулю) конечную сумму. То есть предельная точка есть ноль, и, главное, она одна. А такие множества счётны.
Можно и пример привести: множество членов сходящегося к небольшому числу ряда.
Задача на олимпиадную никак не тянет, но как упражнение по матанализу хороша. Строго всё расписывать замучаешься.

[xmaister]

gris в сообщении #611781 писал(а):

Задача на олимпиадную никак не тянет

Зря Вы так. Была на IMC первым номер, год не помню .

UPD^ Вот нашел.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #611781 писал(а):

Множество ограничено $\pm 2012$. У бесконечного ограниченного множества есть предельная точка.

Ограниченность, кстати, не нужна (хотя она и есть). Если предельных точек нет вообще, то множество уже счётно. Если же есть, то может быть только в нуле, т.е. только одна, и этого достаточно.

[gris]

Ну так или эдак основная трудность всё строго написать. А идея видна сразу: предельные точки.
Ну да, она была месяц назад. Там и другие идеи. А я как раз купался
Разумеется, если в задаче есть число, равное номеру года, то она уже олимпиадна.

[Руст]

А если множество состоит из континиума нулей?

[gris]

Я подозревал, кстати. Думал, думал, что такое спрятала Ktina, ведь коварная она
Но не догадался.

[ewert]

Руст в сообщении #611792 писал(а):

А если множество состоит из континиума нулей?

Тогда при бросании кубика шестёрка никогда не выпадет.

[Ktina]

Руст в сообщении #611792 писал(а):

А если множество состоит из континиума нулей?

Тогда это был бы дедушка было бы мультимножество.

[La_Pew]

Toucan:

Спам удален, пользователь забанен

[xmaister]

Ktina в сообщении #611818 писал(а):

мультимножество

А что это? Мультимножество не является множеством?